[Python] 角度の平均や分散を複素数を使って計算する方法

Pythonでは、角度の平均や分散を計算する際に複素数を利用する方法があります。これは、角度が周期的な性質を持つため、通常の算術平均では正確な結果が得られない場合があるからです。

角度をラジアンで表し、各角度を複素数の形式で表現します。具体的には、角度θを持つ点を複素平面上の点e^(iθ)として表します。

これにより、角度の平均は複素数の平均を計算し、その結果の偏角を求めることで得られます。分散も同様に、複素数を用いて計算することで、周期性を考慮した正確な値を導き出せます。

Pythonでの複素数を使った角度の平均計算

複素数を用いた平均角度の理論

角度の平均を計算する際、単純に数値を平均する方法では、360度を超える角度や負の角度が含まれる場合に誤った結果を導くことがあります。

これを解決するために、複素数を用いる方法があります。

角度を複素数の偏角として表現し、これらの複素数の平均を取ることで、正確な平均角度を求めることができます。

Pythonでの実装方法

必要なライブラリのインポート

Pythonで複素数を扱うためには、標準ライブラリのcmathを使用します。

また、数値計算にはnumpyを使用します。

import cmath
import numpy as np

角度データの準備

角度データはリストや配列として準備します。

ここでは例として、度単位の角度データを用意します。

angles = [30, 45, 60, 90, 120]  # 角度データ(度単位)

複素数を用いた平均計算のステップ

1. 角度をラジアンに変換します。
2. 各角度を複素数に変換します。
3. 複素数の平均を計算します。
4. 平均の複素数から偏角を求め、度に変換します。

# 角度をラジアンに変換
angles_rad = np.radians(angles)
# 各角度を複素数に変換
complex_numbers = [cmath.rect(1, angle) for angle in angles_rad]
# 複素数の平均を計算
mean_complex = sum(complex_numbers) / len(complex_numbers)
# 平均の複素数から偏角を求め、度に変換
mean_angle = np.degrees(cmath.phase(mean_complex))

実装例とコード解説

以下に、上記の手順をまとめた実装例を示します。

import cmath
import numpy as np
# 角度データ(度単位)
angles = [30, 45, 60, 90, 120]
# 角度をラジアンに変換
angles_rad = np.radians(angles)
# 各角度を複素数に変換
complex_numbers = [cmath.rect(1, angle) for angle in angles_rad]
# 複素数の平均を計算
mean_complex = sum(complex_numbers) / len(complex_numbers)
# 平均の複素数から偏角を求め、度に変換
mean_angle = np.degrees(cmath.phase(mean_complex))
print(f"平均角度: {mean_angle:.2f} 度")

平均角度: 68.23 度

このコードは、与えられた角度データの平均を複素数を用いて計算し、正確な平均角度を求めます。

角度が360度を超える場合や負の角度が含まれる場合でも、正確な結果を得ることができます。

Pythonでの複素数を使った角度の分散計算

Pythonでの実装方法

分散計算のための前処理

まず、角度データをラジアンに変換し、それを複素数に変換します。このステップでは、角度を複素平面上のベクトルとして表現するために、角度データを複素数に変換します。

この準備ができたら、分散計算に進みます。

import cmath
import numpy as np

# 角度データ(度単位)
angles = [30, 45, 60, 90, 120]

# 角度をラジアンに変換
angles_rad = np.radians(angles)

# 各角度を複素数に変換
complex_numbers = [cmath.rect(1, angle) for angle in angles_rad]

複素数を用いた分散計算のステップ

1. 複素数の平均を計算します。
2. 平均の複素数の偏角を求めます。これが平均角度に相当します。
3. 各角度と平均角度の差を計算し、その差が -π から π の範囲に収まるように調整します。
4. 調整した角度の差を用いて分散を計算します。

# 複素数の平均を計算
mean_complex = sum(complex_numbers) / len(complex_numbers)

# 平均角度を計算
mean_angle = cmath.phase(mean_complex)

# 各角度と平均角度の差を計算し、-π～πの範囲に収める
angle_diffs = [(angle - mean_angle + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi for angle in angles_rad]

# 偏角の分散を計算
variance = np.var(angle_diffs)

実装例とコード解説

以下に、上記の手順をまとめた実装例を示します。

import cmath
import numpy as np

# 角度データ(度単位)
angles = [30, 45, 60, 90, 120]

# 角度をラジアンに変換
angles_rad = np.radians(angles)

# 各角度を複素数に変換
complex_numbers = [cmath.rect(1, angle) for angle in angles_rad]

# 複素数の平均を計算
mean_complex = sum(complex_numbers) / len(complex_numbers)

# 平均角度を計算
mean_angle = cmath.phase(mean_complex)

# 各角度と平均角度の差を計算し、-π～πの範囲に収める
angle_diffs = [(angle - mean_angle + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi for angle in angles_rad]

# 偏角の分散を計算
variance = np.var(angle_diffs)

print(f"角度の分散: {variance:.4f}")

角度の分散: 0.3180

このコードは、与えられた角度データの分散を正確に計算します。特に、角度が360度を超える場合や負の角度が含まれる場合でも、角度の循環性を考慮して正しい分散を求めることができます。

応用例

気象データにおける風向の解析

気象データでは、風向はしばしば角度として記録されます。

風向の平均や分散を計算する際、単純な数値の平均ではなく、複素数を用いることで、風向の循環性を考慮した正確な解析が可能です。

これにより、風向の変動パターンをより正確に把握し、気象予測の精度を向上させることができます。

ロボット工学における方向センサーのデータ解析

ロボット工学では、方向センサーから得られるデータを用いて、ロボットの進行方向や姿勢を制御します。

センサーからの角度データを複素数を用いて解析することで、ロボットの動きの安定性を評価したり、制御アルゴリズムの精度を向上させたりすることができます。

特に、360度を超える回転や負の角度を含むデータを扱う際に有効です。

地理情報システム(GIS)での方位データ解析

地理情報システム(GIS)では、方位データを用いて地図上のオブジェクトの向きや移動方向を解析します。

複素数を用いた角度の平均や分散の計算は、地図上のルート解析や移動パターンの分析において、より正確な結果を提供します。

これにより、交通流の解析や都市計画の最適化に役立てることができます。

よくある質問

まとめ

複素数を用いた角度の平均や分散の計算は、角度の循環性を考慮した正確な解析を可能にします。

Pythonを用いることで、気象データやロボット工学、GISなどの分野での応用が容易になります。

この記事を参考に、複素数を活用した角度データの解析を試してみてください。