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C言語で実装するt検定：対応のある・対応のない標本の統計的有意差検証方法について解説

2025-04-15更新日: 2025-04-15

本記事は、C言語を用いてt検定の実装方法を解説します。

対応のある標本と対応のない標本に応じて、ペアt検定や独立t検定を使い、二群の平均値の差を検証する手法を説明します。

データの平均・分散計算から $t$ 値の求め方、結果の解釈までを具体例とともに紹介します。

目次から探す

t検定の基本

t検定の概要

t値の定義と計算方法

t検定は、2つの標本の平均値の差が偶然の誤差によるものかどうかを判断するための統計手法です.

t値は、2群間の平均値の差を、標本のばらつきを反映した標準誤差で割ることで求められ、以下のような式で表されます.

$t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}}$

ここで、 ${\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}$ は各群の平均値、 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ は各群の分散、 $n_{1}, n_{2}$ はそれぞれの標本数です.

この値を用いることで、得られた平均値の差が統計的に有意かどうかを判断します.

自由度と分布の関係

t分布は、標本数に依存する自由度というパラメータによって特徴付けられます.

自由度は、通常は各群の標本数から1を引いた値の合計で表され、 $d f = n_{1} + n_{2} - 2$ となります.

自由度が増えるとt分布は正規分布に近づき、標本数が少ない場合は裾が厚い分布となるため、信頼区間や有意水準の設定に注意が必要です.

対応のある標本と対応のない標本の区別

対応のある標本の特徴

対応のある標本は、同じ被験者や類似した条件で観測された2組のデータが対応づけられている場合に用いられます.

これらのデータはペアとなり、例えば介入前後の測定や、同じ個体から得られた左右の値などが該当します.

対応のある場合は、ペア間の差分に着目した解析が行われ、外部のばらつきをある程度取り除くことが可能です.

対応のない標本の特徴

対応のない標本は、異なるグループから独立して抽出されたデータを用います.

被験者間のばらつきや条件の違いがそのまま反映されるため、差分分析だけではなく、各群ごとの分散の違いも考慮する必要があります.

この場合、両群の標本数や分散が異なると、検定結果の解釈に注意が必要です.

C言語での実装準備

利用ライブラリと必要なヘッダファイル

C言語でt検定を実装する際は、基本的に標準ライブラリを利用します.

以下のヘッダファイルをインクルードすることで、数学関数や標準入出力が利用可能です.

stdio.h：入出力関数を使用するために必要です.
stdlib.h：メモリ確保や乱数発生などの標準関数を利用するために必要です.
math.h：平方根や累乗など数学計算用の関数が定義されています.

データ入力と前処理

データ入力は、ファイルやユーザー入力から行います.

C言語では、scanfやfgetsなどを用いて標本データを読み込み、必要に応じて文字列の分割、数値への変換を行います.

前処理としては、以下の点に注意してください.

入力データの形式が正しいかチェックする.
標本数が十分であるか確認する.
欠損値があれば適切に処理する(例：除外や補完).

対応のある標本によるt検定の実装方法

計算手順の流れ

平均値および差分の算出

対応のある標本の場合、まず各ペアのデータについて差分を算出します.

その後、差分の平均値 $\bar{d}$ を計算し、検定の基礎となる値を求めます.

具体的には、以下の計算が必要です.

各ペアの差 $d_{i} = x_{i 1} - x_{i 2}$
差分の平均 $\bar{d} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} d_{i}$

差分標準偏差の計算手法

次に、差分の標準偏差 $s_{d}$ を求めます.

標準偏差は、各差分と平均差の差の二乗和を、標本数 – 1(自由度)で割って算出します.

計算式は以下の通りです.

$s_{d} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} (d_{i} - \bar{d})^{2}}{n - 1}}$

この値は、t値算出の際に標準誤差として用いられます.

t値の算出

計算式の詳細説明

対応のある標本でのt値は、差分の平均 $\bar{d}$ を差分標準偏差 $s_{d}$ と標本数 $n$ に基づいて計算します.

具体的な計算式は以下の通りです.

$t = \frac{\bar{d}}{s_{d} / \sqrt{n}}$

この式により、得られたt値と自由度 $n - 1$ を用いて、t分布表から有意水準に応じた臨界値と比較することで、

統計的有意差を判定することが可能です.

統計的有意差の判定方法

t検定では、計算されたt値と、対応する自由度におけるt分布の臨界値を比較します.

有意水準(通常は5%など)を設定し、もし $| t |$ が臨界値より大きければ、有意な差があると判断します.

判断基準は両側検定か片側検定かで異なる場合がありますが、

一般的には両側検定が用いられることが多いです.

対応のない標本によるt検定の実装方法

計算手順の流れ

各群の平均値と分散の算出

対応のない標本の場合、まず各群ごとに平均値と分散を別々に求めます.

各群の平均値は以下の式で計算されます.

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$

各群の分散は、以下の式で求められます.

$s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}$

プール分散の計算

両群の分散が等しいと仮定できる場合は、

各群の分散からプール分散(合成分散)を計算します.

プール分散の計算式は以下の通りです.

$s_{p}^{2} = \frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}$

この値を用いることで、共通の標準誤差を求めることができます.

t値の算出

計算式の詳細説明

対応のない標本でのt値は、各群の平均値の差と、

プール分散に基づく標準誤差を用いて計算されます.

具体的には、以下の式を用います.

$t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{s_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}}$

ここで、 $s_{p}$ はプール分散の平方根です.

計算結果のt値と自由度 $(n_{1} + n_{2} - 2)$ を用いて、

t分布表から有意水準との比較を行い、統計的有意差を判定します.

統計的有意差の判定方法

対応のない標本の場合も、計算したt値と自由度に応じた臨界値を比較して評価します.

有意水準を基準に、もし $| t |$ が臨界値を超える場合は、2群の平均値に統計的有意差があると判断します.

また、両側検定と片側検定の違いを踏まえて解釈する必要があります.

サンプル実装例とコード解説

サンプルコードの構成

関数設計のポイント

サンプルコードでは、以下のポイントに注意して実装しています.

標本データの入力および前処理を明確な関数に分割している.
t検定の計算処理を、対応のある標本と対応のない標本で分けて実装することで再利用性を高めている.
数値計算において、複数の計算ステップを分かりやすい関数として整理している.

エラーチェックとデバッグの注意点

入力データが正しく読み込まれているかを、各関数内部で確認する.
ゼロ除算や不正な入力がないか、前処理でチェックする.
計算過程での中間結果を必要に応じて表示し、デバッグを容易にする工夫を取り入れている.

計算結果の検証手法

計算結果の検証には以下の手法を用います.

手計算やExcelなどのツールで算出した結果と照合する.
標準的なt検定の結果が出る既知のデータセットを用いて、実装結果と理論値を比較する.
サンプルコード内で、計算結果を画面に表示し、容易に確認できるようにする.

ケーススタディと応用例

実際のデータセットによる検証

データセットの特徴分析

実際に使用するデータセットは、多様な背景情報を含む場合が多く、

各データセットの特徴(例：平均値、分散、標本数)を事前に分析します.

データの分布や異常値の有無についても確認し、

解析前に適切な前処理を行うことが重要です.

検定結果の解釈ポイント

データセットごとにt検定の結果を解釈する際は、

以下の点に留意します.

得られたt値が有意水準を超えているかどうか.
対応する自由度に対して、t分布上どの位置にあるか.
結果が実際の現象や実験条件と整合しているかを確認する.

以下に、対応のある標本によるt検定の簡単なサンプルコードを示します.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
// 対応のある標本のt検定を実装するサンプル関数
double pairedTTest(int n, double d[]) {
    double sum = 0.0;
    int i;
    // 差分の合計値を計算する
    for(i = 0; i < n; i++) {
        sum += d[i];
    }
    double mean = sum / n;  // 差分の平均
    double variance = 0.0;
    // 差分の分散を計算する
    for(i = 0; i < n; i++) {
        variance += (d[i] - mean) * (d[i] - mean);
    }
    variance /= (n - 1);
    double stddev = sqrt(variance);  // 差分の標準偏差
    // t値を計算する
    double t_value = mean / (stddev / sqrt(n));
    return t_value;
}
int main(void) {
    // サンプルデータ: 各ペアの差分(d[i] = x_before - x_after)
    int sampleSize = 10;
    double diffData[10] = {1.2, -0.5, 0.7, 1.0, -0.2, 0.9, 1.3, -0.8, 0.4, 0.6};
    // t検定の実行
    double t = pairedTTest(sampleSize, diffData);
    printf("Calculated t-value: %lf\n", t);
    return 0;
}