[C言語] 2変量正規分布の実装と応用方法

Q: 2変量正規分布の乱数生成で注意すべき点は？

2変量正規分布の乱数生成において注意すべき点はいくつかあります。 共分散行列の正定値性 : 共分散行列は正定値でなければなりません。 正定値でない場合、Cholesky分解ができず、乱数生成が正しく行えません。 共分散行列が正定値であることを確認するために、行列の固有値がすべて正であることをチェックすることが重要です。 乱数のシード設定 : 乱数生成の際にシードを設定しないと、毎回同じ乱数が生成される可能性があります。 srand(time(NULL))を使用してシードを設定することで、異なる乱数を生成することができます。 数値誤差 : 計算機上での数値計算には誤差が伴います。 特に、Cholesky分解や平方根の計算において、数値誤差が結果に影響を与えることがあります。 精度の高い計算を行うために、適切なデータ型を選択することが重要です。

2024-09-06

2変量正規分布は、2つの変数が正規分布に従い、相関を持つ場合の分布を表します。

C言語での実装には、まず平均ベクトルと共分散行列を定義し、乱数生成ライブラリを用いて標準正規分布から乱数を生成します。

次に、Cholesky分解を用いて共分散行列を分解し、生成した乱数に適用して2変量正規分布の乱数を得ます。

応用として、金融データのモデリングや、機械学習におけるデータ生成、シミュレーションなどで利用されます。

この記事でわかること

2変量正規分布の基本的な概念とその特性
C言語での2変量正規分布の実装方法
金融データや機械学習における2変量正規分布の応用例
Cholesky分解を用いた乱数生成の手法
2変量正規分布の実装における注意点と利点

目次から探す

2変量正規分布とは

2変量正規分布は、2つの変数が同時に正規分布に従う確率分布の一種です。

この分布は、統計学やデータ分析、機械学習などの分野で広く利用されています。

2変量正規分布は、2次元のデータを扱う際に、そのデータの相関関係や分布の形状を理解するために役立ちます。

2変量正規分布の基本

2変量正規分布は、2つの変数 \(X\) と \(Y\) がそれぞれ正規分布に従い、さらにこれらの変数間に相関がある場合に用いられます。

2変量正規分布は、以下のような確率密度関数(PDF)で表されます：

\[f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} + \frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} – \frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \right] \right)\]

ここで、\(\mu_X\) と \(\mu_Y\) はそれぞれの平均、\(\sigma_X\) と \(\sigma_Y\) は標準偏差、\(\rho\) は相関係数を表します。

平均ベクトルと共分散行列

2変量正規分布は、平均ベクトルと共分散行列によって特徴付けられます。

平均ベクトル: \(\mu = \begin{bmatrix} \mu_X \ \mu_Y \end{bmatrix}\)
共分散行列: \(\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \ \rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{bmatrix}\)

平均ベクトルは、各変数の平均値を表し、共分散行列は変数間の分散と共分散を表します。

共分散行列の対角成分は各変数の分散を示し、非対角成分は変数間の共分散を示します。

2変量正規分布の特性

2変量正規分布には以下の特性があります：

対称性: 分布は平均ベクトルを中心に対称です。
楕円形の等高線: 確率密度関数の等高線は楕円形を形成し、相関係数 \(\rho\) によって楕円の形状が変わります。
独立性: \(\rho = 0\) の場合、2つの変数は独立であり、2変量正規分布はそれぞれの変数の1変量正規分布の積となります。

これらの特性を理解することで、2変量正規分布を用いたデータ分析やモデリングがより効果的に行えます。

C言語での2変量正規分布の実装

C言語で2変量正規分布を実装するには、数学的な計算を行うためのライブラリを利用し、乱数生成や行列計算を行う必要があります。

以下では、必要なライブラリの設定から、2変量正規分布の乱数生成までの手順を解説します。

必要なライブラリと環境設定

C言語で2変量正規分布を実装するためには、以下のライブラリが必要です。

math.h: 数学的な関数を利用するために必要です。
stdlib.h: 乱数生成に必要です。
time.h: 乱数のシード設定に使用します。

これらのライブラリをインクルードすることで、必要な数学的計算や乱数生成が可能になります。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

平均ベクトルと共分散行列の定義

2変量正規分布を定義するために、平均ベクトルと共分散行列を設定します。

これらは、分布の中心と形状を決定します。

double mean[2] = {0.0, 0.0}; // 平均ベクトル
double covariance[2][2] = {{1.0, 0.5}, {0.5, 1.0}}; // 共分散行列

標準正規分布からの乱数生成

標準正規分布に従う乱数を生成するために、Box-Muller法を使用します。

この方法は、2つの一様乱数から2つの標準正規乱数を生成します。

double generateStandardNormal() {
    double u1 = (double)rand() / RAND_MAX;
    double u2 = (double)rand() / RAND_MAX;
    return sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2.0 * M_PI * u2);
}

Cholesky分解の実装

共分散行列をCholesky分解し、下三角行列を取得します。

この行列を用いて、標準正規乱数を2変量正規乱数に変換します。

void choleskyDecomposition(double matrix[2][2], double lower[2][2]) {
    lower[0][0] = sqrt(matrix[0][0]);
    lower[1][0] = matrix[1][0] / lower[0][0];
    lower[1][1] = sqrt(matrix[1][1] - lower[1][0] * lower[1][0]);
}

2変量正規分布の乱数生成

Cholesky分解を用いて、標準正規乱数を2変量正規乱数に変換します。

void generateBivariateNormal(double mean[2], double covariance[2][2], double result[2]) {
    double lower[2][2];
    choleskyDecomposition(covariance, lower);
    double z[2] = {generateStandardNormal(), generateStandardNormal()};
    result[0] = mean[0] + lower[0][0] * z[0];
    result[1] = mean[1] + lower[1][0] * z[0] + lower[1][1] * z[1];
}

完成したプログラム

以下に、2変量正規分布の乱数を生成するプログラムの全体を示します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
double generateStandardNormal() {
    double u1 = (double)rand() / RAND_MAX;
    double u2 = (double)rand() / RAND_MAX;
    return sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2.0 * M_PI * u2);
}
void choleskyDecomposition(double matrix[2][2], double lower[2][2]) {
    lower[0][0] = sqrt(matrix[0][0]);
    lower[1][0] = matrix[1][0] / lower[0][0];
    lower[1][1] = sqrt(matrix[1][1] - lower[1][0] * lower[1][0]);
}
void generateBivariateNormal(double mean[2], double covariance[2][2], double result[2]) {
    double lower[2][2];
    choleskyDecomposition(covariance, lower);
    double z[2] = {generateStandardNormal(), generateStandardNormal()};
    result[0] = mean[0] + lower[0][0] * z[0];
    result[1] = mean[1] + lower[1][0] * z[0] + lower[1][1] * z[1];
}
int main() {
    srand(time(NULL));
    double mean[2] = {0.0, 0.0};
    double covariance[2][2] = {{1.0, 0.5}, {0.5, 1.0}};
    double result[2];
    generateBivariateNormal(mean, covariance, result);
    printf("Generated Bivariate Normal Random Variables: (%f, %f)\n", result[0], result[1]);
    return 0;
}

このプログラムは、2変量正規分布に従う乱数を生成し、結果を出力します。

srand(time(NULL))を使用して乱数のシードを設定することで、毎回異なる乱数を生成します。