数値処理

[C言語] 積分するプログラムの書き方

2025-04-14更新日: 2025-04-14

C言語で積分を行うプログラムを作成するには、数値積分の手法を用いることが一般的です。

代表的な方法としては、台形公式やシンプソンの公式があります。

これらの手法は、関数の定義域を小さな区間に分割し、それぞれの区間での面積を計算して合計することで近似的に積分値を求めます。

プログラムでは、関数ポインタを用いて任意の関数を積分することが可能です。

また、ループや配列を活用して区間の分割と面積の計算を効率的に行います。

目次から探す

台形法による積分プログラム
シンプソンの法則による積分プログラム
モンテカルロ法による積分プログラム
応用例
まとめ

台形法による積分プログラム

台形法のアルゴリズム

台形法は、数値積分の基本的な手法の一つで、関数の下にある面積を台形の集合として近似する方法です。

以下に、台形法の基本的なアルゴリズムを示します。

区間の分割: 積分区間を等間隔に分割します。
台形の面積計算: 各区間での台形の面積を計算します。
面積の合計: 全ての台形の面積を合計して、近似的な積分値を求めます。

この方法は、関数が直線に近い場合に特に有効です。

C言語での実装例

以下に、台形法を用いた数値積分のC言語による実装例を示します。

#include <stdio.h>
// 積分したい関数の定義
double function(double x) {
    return x * x; // 例：f(x) = x^2
}
// 台形法による積分
double trapezoidal(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n; // 区間の幅
    double sum = 0.5 * (function(a) + function(b)); // 両端の台形の面積
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        sum += function(a + i * h); // 中間の台形の面積
    }
    return sum * h; // 合計面積
}
int main() {
    double a = 0.0; // 積分区間の開始
    double b = 1.0; // 積分区間の終了
    int n = 100; // 分割数
    double result = trapezoidal(a, b, n);
    printf("積分結果: %f\n", result);
    return 0;
}

積分結果: 0.333333

このプログラムは、関数 ( f(x) = x^2 ) を区間 [0, 1] で積分し、結果を出力します。

分割数を増やすことで、より精度の高い結果が得られます。

精度向上のための工夫

台形法の精度を向上させるためには、以下のような工夫が考えられます。

分割数の増加: 分割数を増やすことで、各台形の幅が狭くなり、より正確な近似が可能になります。
適応的分割: 関数の変化が激しい部分では分割数を増やし、変化が少ない部分では分割数を減らすことで、計算効率を向上させつつ精度を保つことができます。
高次の補間: 台形法の代わりに、より高次の補間法(例：シンプソンの法則)を用いることで、精度を向上させることができます。

これらの工夫を組み合わせることで、台形法による数値積分の精度を大幅に向上させることが可能です。

シンプソンの法則による積分プログラム

シンプソンの法則のアルゴリズム

シンプソンの法則は、数値積分の手法の一つで、関数を2次の多項式で近似することで、より高い精度を実現します。

以下に、シンプソンの法則の基本的なアルゴリズムを示します。

区間の分割: 積分区間を偶数個の小区間に分割します。
2次多項式による近似: 各小区間で、関数を2次の多項式で近似します。
面積の合計: 各小区間の面積を計算し、合計して近似的な積分値を求めます。

この方法は、関数が滑らかである場合に特に有効です。

C言語での実装例

以下に、シンプソンの法則を用いた数値積分のC言語による実装例を示します。

#include <stdio.h>
// 積分したい関数の定義
double function(double x) {
    return x * x; // 例：f(x) = x^2
}
// シンプソンの法則による積分
double simpson(double a, double b, int n) {
    if (n % 2 != 0) n++; // nが偶数でない場合、偶数にする
    double h = (b - a) / n; // 区間の幅
    double sum = function(a) + function(b); // 両端の値
    for (int i = 1; i < n; i += 2) {
        sum += 4 * function(a + i * h); // 奇数番目の係数4
    }
    for (int i = 2; i < n; i += 2) {
        sum += 2 * function(a + i * h); // 偶数番目の係数2
    }
    return sum * h / 3; // 合計面積
}
int main() {
    double a = 0.0; // 積分区間の開始
    double b = 1.0; // 積分区間の終了
    int n = 100; // 分割数
    double result = simpson(a, b, n);
    printf("積分結果: %f\n", result);
    return 0;
}

積分結果: 0.333333

このプログラムは、関数 ( f(x) = x^2 ) を区間 [0, 1] で積分し、結果を出力します。

シンプソンの法則は、台形法よりも少ない分割数で高い精度を得ることができます。

シンプソンの法則の適用条件

シンプソンの法則を適用する際には、以下の条件を考慮する必要があります。

分割数は偶数: シンプソンの法則では、分割数を偶数にする必要があります。

奇数の場合は、偶数に調整します。

関数の滑らかさ: 関数が滑らかであるほど、シンプソンの法則の精度が向上します。

関数に急激な変化がある場合、精度が低下する可能性があります。

区間の選択: 積分区間が適切に選ばれていることが重要です。

特に、関数が不連続な点を含む場合は注意が必要です。

これらの条件を満たすことで、シンプソンの法則を効果的に利用し、高精度な数値積分を実現することができます。

モンテカルロ法による積分プログラム

モンテカルロ法のアルゴリズム

モンテカルロ法は、確率論に基づく数値積分の手法で、ランダムなサンプルを用いて積分を近似します。

以下に、モンテカルロ法の基本的なアルゴリズムを示します。

ランダムサンプリング: 積分区間内でランダムに点を生成します。
関数値の評価: 各ランダム点で関数の値を評価します。
平均値の計算: 評価した関数値の平均を計算し、積分区間の長さを掛けて近似的な積分値を求めます。

この方法は、特に高次元の積分や複雑な形状の領域に対して有効です。

C言語での実装例

以下に、モンテカルロ法を用いた数値積分のC言語による実装例を示します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
// 積分したい関数の定義
double function(double x) {
    return x * x; // 例：f(x) = x^2
}
// モンテカルロ法による積分
double monteCarlo(double a, double b, int n) {
    double sum = 0.0;
    double range = b - a;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double x = a + range * ((double)rand() / RAND_MAX); // ランダムなxを生成
        sum += function(x);
    }
    return (sum / n) * range; // 平均値に区間の長さを掛ける
}
int main() {
    srand(time(NULL)); // 乱数の種を設定
    double a = 0.0; // 積分区間の開始
    double b = 1.0; // 積分区間の終了
    int n = 100000; // サンプル数
    double result = monteCarlo(a, b, n);
    printf("積分結果: %f\n", result);
    return 0;
}