[Python] 単位球上にランダムな点を分布させる

単位球上にランダムな点を分布させるには、球面上で一様に分布する点を生成する必要があります。

単純に各座標軸に対してランダムな値を生成して正規化する方法では、球面上での分布が偏ってしまいます。

正しい方法としては、まず正規分布に従う3つの独立した乱数を生成し、それを正規化して単位ベクトルに変換する方法が一般的です。

これにより、球面上に一様に分布する点を得ることができます。

この記事でわかること

単位球上に点を生成する方法
NumPyやSciPyの活用法
球面座標系の利用方法
様々な応用例の紹介
ランダムな点の分布の重要性

目次から探す

単位球上にランダムな点を生成する方法

直感的な方法：ランダムな座標を正規化する

単位球上に点を生成する最も直感的な方法は、3次元空間内でランダムな座標を生成し、それを正規化することです。

具体的には、ランダムなx、y、z座標を生成し、そのベクトルの長さを1にすることで、単位球の表面上の点を得ることができます。

import numpy as np
# ランダムな座標を生成
x = np.random.uniform(-1, 1)
y = np.random.uniform(-1, 1)
z = np.random.uniform(-1, 1)
# ベクトルの長さを計算
length = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
# 正規化
x_normalized = x / length
y_normalized = y / length
z_normalized = z / length
print(x_normalized, y_normalized, z_normalized)

0.24852024705464193 0.8783189461807138 -0.4084036184755225

この方法は簡単ですが、次の問題点があります。

問題点：分布の偏り

上記の方法では、生成される点が球の中心に近い位置に偏る傾向があります。

これは、ランダムに生成された座標が、球の表面に近い点よりも中心に近い点が多くなるためです。

このため、単位球上に均等に点を分布させることができません。

正しい方法：正規分布を用いたベクトルの正規化

分布の偏りを解消するためには、正規分布を用いて点を生成する方法が有効です。

具体的には、各座標を独立した正規分布からサンプリングし、そのベクトルを正規化します。

これにより、球の表面上に均等に点を配置することが可能になります。

import numpy as np
# 正規分布からランダムな座標を生成
x = np.random.normal()
y = np.random.normal()
z = np.random.normal()
# ベクトルの長さを計算
length = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
# 正規化
x_normalized = x / length
y_normalized = y / length
z_normalized = z / length
print(x_normalized, y_normalized, z_normalized)

-0.5545577426653319 0.36397872261756303 0.7483215883105462

球面座標系を用いた方法

もう一つの方法は、球面座標系を用いて点を生成することです。

この方法では、角度をランダムに生成し、球の半径を1に設定することで、単位球上の点を得ることができます。

具体的には、緯度と経度を用いて点を計算します。

import numpy as np
# ランダムな緯度と経度を生成
theta = np.random.uniform(0, 2 * np.pi)  # 経度
phi = np.random.uniform(0, np.pi)        # 緯度
# 球面座標からデカルト座標に変換
x = np.sin(phi) * np.cos(theta)
y = np.sin(phi) * np.sin(theta)
z = np.cos(phi)
print(x, y, z)

0.8113160938311537 0.06873814634027431 0.5805525498421842

この方法では、均等に分布した点を生成することができ、特に3Dグラフィックスや物理シミュレーションにおいて有用です。

Pythonでの実装方法

NumPyを使った実装

NumPyは、数値計算を効率的に行うためのライブラリで、ランダムな点を生成する際にも非常に便利です。

以下のコードでは、NumPyを使用して単位球上にランダムな点を生成する方法を示します。

import numpy as np
def generate_random_point_on_unit_sphere():
    # 正規分布からランダムな座標を生成
    x, y, z = np.random.normal(size=3)
    
    # ベクトルの長さを計算
    length = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
    
    # 正規化
    return x / length, y / length, z / length
# ランダムな点を生成
point = generate_random_point_on_unit_sphere()
print(point)

(np.float64(-0.6693866842010489), np.float64(0.717902747782511), np.float64(0.1911468329338623))

この関数を呼び出すことで、単位球上のランダムな点を得ることができます。

SciPyを使った実装

SciPyは、科学技術計算のためのライブラリで、特に統計的な処理に強みがあります。

以下のコードでは、SciPyを使用して単位球上にランダムな点を生成する方法を示します。

import numpy as np
from scipy.stats import norm
def generate_random_point_on_unit_sphere_scipy():
    # 正規分布からランダムな座標を生成
    x, y, z = norm.rvs(size=3)
    
    # ベクトルの長さを計算
    length = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
    
    # 正規化
    return x / length, y / length, z / length
# ランダムな点を生成
point = generate_random_point_on_unit_sphere_scipy()
print(point)

(np.float64(-0.5253137095072252), np.float64(-0.5887475220238861), np.float64(-0.6143466952092218))

この方法でも、単位球上のランダムな点を生成することができます。

ランダムなベクトルの生成と正規化

ランダムなベクトルを生成し、それを正規化するプロセスは、単位球上の点を得るための基本的な手法です。

以下のコードは、NumPyを使用してこのプロセスを実装したものです。

import numpy as np
def generate_random_vector_and_normalize():
    # ランダムなベクトルを生成
    vector = np.random.uniform(-1, 1, size=3)
    
    # ベクトルの長さを計算
    length = np.linalg.norm(vector)
    
    # 正規化
    return vector / length
# ランダムなベクトルを生成
normalized_vector = generate_random_vector_and_normalize()
print(normalized_vector)

[-0.07330739 -0.33054868 -0.94093762]

この関数を使用することで、単位球上の点を得ることができます。

球面座標系での実装

球面座標系を用いて単位球上の点を生成する方法も非常に効果的です。

以下のコードでは、球面座標系を使用して点を生成する方法を示します。

import numpy as np
def generate_random_point_on_unit_sphere_spherical():
    # ランダムな緯度と経度を生成
    theta = np.random.uniform(0, 2 * np.pi)  # 経度
    phi = np.random.uniform(0, np.pi)        # 緯度
    
    # 球面座標からデカルト座標に変換
    x = np.sin(phi) * np.cos(theta)
    y = np.sin(phi) * np.sin(theta)
    z = np.cos(phi)
    
    return x, y, z
# ランダムな点を生成
point = generate_random_point_on_unit_sphere_spherical()
print(point)

(np.float64(0.05703808880335585), np.float64(0.018270524479671757), np.float64(-0.9982048108283681))

この方法では、均等に分布した点を生成することができ、特に3Dグラフィックスや物理シミュレーションにおいて有用です。

実装の詳細解説

ランダムなベクトルの生成

単位球上に点を生成するための最初のステップは、ランダムなベクトルを生成することです。

通常、3次元空間内での点を生成するためには、各座標(x, y, z)を独立に生成します。

以下のコードでは、NumPyを使用してランダムなベクトルを生成する方法を示します。

import numpy as np
def generate_random_vector():
    # -1から1の範囲でランダムな座標を生成
    vector = np.random.uniform(-1, 1, size=3)
    return vector
# ランダムなベクトルを生成
random_vector = generate_random_vector()
print(random_vector)

[0.92078263 0.24805787 0.51781148]

このようにして生成されたベクトルは、単位球の内部に位置します。

ベクトルの正規化

生成したランダムなベクトルを単位球上の点に変換するためには、ベクトルの正規化が必要です。

正規化とは、ベクトルの長さを1にする操作です。

以下のコードでは、ベクトルの長さを計算し、正規化する方法を示します。

import numpy as np
def generate_random_vector():
    # -1から1の範囲でランダムな座標を生成
    vector = np.random.uniform(-1, 1, size=3)
    return vector
# ランダムなベクトルを生成
random_vector = generate_random_vector()

def normalize_vector(vector):
    # ベクトルの長さを計算
    length = np.linalg.norm(vector)
    
    # 正規化
    normalized_vector = vector / length
    return normalized_vector
# 正規化を実行
normalized_vector = normalize_vector(random_vector)
print(normalized_vector)

[-0.42196151  0.9017698  -0.09359331]

この正規化されたベクトルが、単位球上の点となります。

球面座標系での角度の生成

球面座標系を用いる場合、点を生成するためには緯度(phi)と経度(theta)をランダムに生成する必要があります。

緯度は0からπの範囲、経度は0から2πの範囲で生成します。

以下のコードでは、これらの角度を生成する方法を示します。

import numpy as np
def generate_spherical_coordinates():
    # ランダムな経度と緯度を生成
    theta = np.random.uniform(0, 2 * np.pi)  # 経度
    phi = np.random.uniform(0, np.pi)        # 緯度
    return theta, phi
# 球面座標を生成
theta, phi = generate_spherical_coordinates()
print(f"theta: {theta}, phi: {phi}")

theta: 5.612319994983774, phi: 3.092424502605986

このようにして生成された角度を用いて、球面上の点を計算することができます。

生成された点の可視化

生成された点を可視化することで、単位球上に均等に分布していることを確認できます。

Matplotlibを使用して3Dプロットを行う方法を以下に示します。

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
def plot_point_on_sphere(point):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    
    # 球の表面を描画
    u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
    v = np.linspace(0, np.pi, 100)
    x = np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
    y = np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
    z = np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))
    
    ax.plot_surface(x, y, z, color='b', alpha=0.1)
    
    # 生成した点をプロット
    ax.scatter(point[0], point[1], point[2], color='r', s=100)
    
    ax.set_xlabel('X')
    ax.set_ylabel('Y')
    ax.set_zlabel('Z')
    plt.show()
# 生成した点を可視化
normalized_vector = np.array([0.123, 0.456, 0.789])
plot_point_on_sphere(normalized_vector)

このコードを実行すると、単位球の表面上に生成された点が赤色で表示され、球の表面が青色で描画されます。

これにより、点が単位球上に正しく配置されていることを視覚的に確認できます。