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[Python] NumPy – ベクトルの長さを1に正規化する方法

2025-01-18更新日: 2025-01-18

NumPyを使用してベクトルを正規化するには、ベクトルの長さ(ユークリッドノルム)を計算し、その値で各要素を割ることで実現できます。

まず、numpy.linalg.norm関数を使ってベクトルのノルムを計算し、その後、ベクトル全体をそのノルムで割ります。

これにより、ベクトルの長さが1に正規化されます。

例えば、vがベクトルの場合、v / np.linalg.norm(v)で正規化が可能です。

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ベクトルの正規化とは？

ベクトルの正規化とは、ベクトルの長さを1にする操作を指します。

これにより、ベクトルの方向を保持しつつ、スケールを統一することができます。

正規化されたベクトルは、特に機械学習や物理シミュレーションなどの分野で重要な役割を果たします。

ベクトルの長さ(ノルム)とは？

ベクトルの長さは、ノルムと呼ばれ、ベクトルの大きさを表します。

2次元ベクトル \(\mathbf{v} = (x, y)\) のノルムは次のように計算されます。

\[|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

一般的に、n次元ベクトル \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\) のノルムは次のように表されます。

\[|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}\]

正規化の目的

正規化の主な目的は以下の通りです。

目的	説明
スケールの統一	異なるスケールのデータを比較可能にする。
計算の安定性	数値計算における誤差を減少させる。
モデルの性能向上	機械学習モデルの収束を早め、精度を向上させる。

正規化の応用例

正規化はさまざまな分野で利用されています。

NumPyでベクトルを扱う基本

NumPyは、Pythonで数値計算を行うための強力なライブラリです。

特に、ベクトルや行列の操作に優れており、科学技術計算やデータ分析に広く利用されています。

NumPyのインストール方法

NumPyは、Pythonのパッケージ管理ツールであるpipを使用して簡単にインストールできます。

以下のコマンドを実行してください。

pip install numpy

NumPy配列の作成方法

NumPyでは、配列を作成するためのさまざまな方法があります。

以下は、基本的な配列の作成方法です。

import numpy as np
# リストから配列を作成
array_from_list = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
# ゼロ行列を作成
zero_array = np.zeros((2, 3))
# 単位行列を作成
identity_matrix = np.eye(3)
print("リストから作成した配列:", array_from_list)
print("ゼロ行列:\n", zero_array)
print("単位行列:\n", identity_matrix)

リストから作成した配列: [1 2 3 4 5]
ゼロ行列:
 [[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]
単位行列:
 [[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

ベクトルの基本操作

NumPyを使用すると、ベクトルに対してさまざまな基本操作を簡単に行うことができます。

以下は、ベクトルの加算、減算、スカラー倍の例です。

import numpy as np
# 2つのベクトルを定義
vector_a = np.array([1, 2, 3])
vector_b = np.array([4, 5, 6])
# ベクトルの加算
vector_sum = vector_a + vector_b
# ベクトルの減算
vector_diff = vector_a - vector_b
# スカラー倍
scalar_multiplication = 2 * vector_a
print("ベクトルの加算:", vector_sum)
print("ベクトルの減算:", vector_diff)
print("スカラー倍:", scalar_multiplication)

ベクトルの加算: [5 7 9]
ベクトルの減算: [-3 -3 -3]
スカラー倍: [2 4 6]

NumPyでのベクトルの長さ(ノルム)の計算

NumPyを使用してベクトルの長さ(ノルム)を計算するには、numpy.linalg.norm関数を使用します。

以下はその例です。

import numpy as np
# ベクトルを定義
vector = np.array([3, 4])
# ベクトルのノルムを計算
vector_norm = np.linalg.norm(vector)
print("ベクトルの長さ:", vector_norm)

ベクトルの長さ: 5.0

この例では、ベクトル \((3, 4)\) のノルムを計算しています。

ノルムは、ピタゴラスの定理に基づいて計算され、結果は5.0となります。

NumPyでベクトルを正規化する方法

ベクトルの正規化は、ベクトルの長さを1にする操作です。

NumPyを使用すると、簡単にベクトルを正規化することができます。

以下では、正規化の手順を詳しく解説します。

numpy.linalg.norm関数の使い方

numpy.linalg.norm関数は、ベクトルのノルム(長さ)を計算するための関数です。

この関数を使用することで、ベクトルの長さを簡単に取得できます。

import numpy as np
# ベクトルを定義
vector = np.array([3, 4])
# ノルムを計算
norm = np.linalg.norm(vector)
print("ベクトルのノルム:", norm)

ベクトルのノルム: 5.0

ベクトルをノルムで割る方法

ベクトルを正規化するには、ベクトルをそのノルムで割ります。

これにより、ベクトルの長さが1になります。

import numpy as np
# ベクトルを定義
vector = np.array([3, 4])
# ノルムを計算
norm = np.linalg.norm(vector)
# ベクトルをノルムで割る
normalized_vector = vector / norm
print("正規化されたベクトル:", normalized_vector)

正規化されたベクトル: [0.6 0.8]

2次元ベクトルの正規化例

2次元ベクトルの正規化の具体例を示します。

以下のコードでは、ベクトル \((1, 2)\) を正規化します。

import numpy as np
# 2次元ベクトルを定義
vector_2d = np.array([1, 2])
# ノルムを計算
norm_2d = np.linalg.norm(vector_2d)
# ベクトルをノルムで割る
normalized_vector_2d = vector_2d / norm_2d
print("2次元ベクトルの正規化:", normalized_vector_2d)

2次元ベクトルの正規化: [0.4472136 0.89442719]

3次元ベクトルの正規化例

次に、3次元ベクトルの正規化の例を示します。

以下のコードでは、ベクトル \((1, 2, 2)\) を正規化します。

import numpy as np
# 3次元ベクトルを定義
vector_3d = np.array([1, 2, 2])
# ノルムを計算
norm_3d = np.linalg.norm(vector_3d)
# ベクトルをノルムで割る
normalized_vector_3d = vector_3d / norm_3d
print("3次元ベクトルの正規化:", normalized_vector_3d)

3次元ベクトルの正規化: [0.33333333 0.66666667 0.66666667]

ゼロベクトルの扱いに注意

ゼロベクトル(すべての成分が0のベクトル)を正規化しようとすると、ノルムが0になり、ゼロ除算エラーが発生します。

したがって、ゼロベクトルを正規化する際には注意が必要です。

以下のように、ゼロベクトルの場合は特別な処理を行うことが推奨されます。

import numpy as np
# ゼロベクトルを定義
zero_vector = np.array([0, 0])
# ノルムを計算
norm_zero = np.linalg.norm(zero_vector)
# ゼロベクトルの正規化
if norm_zero == 0:
    normalized_zero_vector = zero_vector  # ゼロベクトルはそのまま
else:
    normalized_zero_vector = zero_vector / norm_zero
print("ゼロベクトルの正規化:", normalized_zero_vector)

ゼロベクトルの正規化: [0 0]

このように、ゼロベクトルの場合はそのままの値を保持することが重要です。

応用例：ベクトルの正規化を使った実践的なシナリオ

ベクトルの正規化は、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。

以下では、いくつかの実践的なシナリオにおける正規化の応用例を紹介します。

機械学習における特徴量の正規化

機械学習では、異なるスケールを持つ特徴量を正規化することが重要です。

正規化を行うことで、モデルの収束が早まり、精度が向上します。

例えば、特徴量のスケーリングには、最小値と最大値を使ったMin-Maxスケーリングや、平均と標準偏差を使ったZスコア正規化が一般的です。

import numpy as np
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# 特徴量データを定義
data = np.array([[1, 2000], [2, 3000], [3, 4000]])
# Zスコア正規化
scaler = StandardScaler()
normalized_data = scaler.fit_transform(data)
print("正規化された特徴量データ:\n", normalized_data)

正規化された特徴量データ:
 [[-1.22474487 -1.22474487]
 [ 0.          0.        ]
 [ 1.22474487  1.22474487]]

物理シミュレーションにおける単位ベクトルの利用

物理シミュレーションでは、力や速度を表すベクトルを単位ベクトルに正規化することがよくあります。

これにより、方向を保持しつつ、スケールを統一することができます。

例えば、物体の移動方向を示すベクトルを単位ベクトルに変換することで、他の力との合成が容易になります。

import numpy as np
# 力のベクトルを定義
force_vector = np.array([3, 4])
# 単位ベクトルに正規化
unit_vector = force_vector / np.linalg.norm(force_vector)
print("単位ベクトル:", unit_vector)

単位ベクトル: [0.6 0.8]

コンピュータグラフィックスにおける法線ベクトルの正規化

コンピュータグラフィックスでは、法線ベクトルを正規化することが重要です。

法線ベクトルは、面の方向を示し、光の反射や影の計算に使用されます。

正規化された法線ベクトルを使用することで、正確なライティング効果を得ることができます。

import numpy as np
# 法線ベクトルを定義
normal_vector = np.array([1, 2, 2])
# 正規化
normalized_normal = normal_vector / np.linalg.norm(normal_vector)
print("正規化された法線ベクトル:", normalized_normal)

正規化された法線ベクトル: [0.33333333 0.66666667 0.66666667]

正規化されたベクトルを使った距離計算

正規化されたベクトルを使用することで、異なるベクトル間の距離を計算することができます。

特に、コサイン類似度を計算する際には、正規化が重要です。

コサイン類似度は、2つのベクトルの間の角度を測定し、類似性を評価します。

import numpy as np
# 2つのベクトルを定義
vector_a = np.array([1, 2, 3])
vector_b = np.array([4, 5, 6])
# 正規化
norm_a = vector_a / np.linalg.norm(vector_a)
norm_b = vector_b / np.linalg.norm(vector_b)
# コサイン類似度を計算
cosine_similarity = np.dot(norm_a, norm_b)
print("コサイン類似度:", cosine_similarity)

コサイン類似度: 0.9746318461970762

このように、正規化されたベクトルは、さまざまな分野での計算や解析において重要な役割を果たしています。

まとめ

この記事では、NumPyを使用したベクトルの正規化について詳しく解説しました。

正規化の基本的な概念から、NumPyを使った具体的な実装方法、さらには機械学習や物理シミュレーションなどの実践的な応用例まで幅広く取り上げました。

これにより、正規化がどのように役立つかを理解し、実際のプロジェクトに応用するための基礎を築くことができるでしょう。

今後は、学んだ内容を実際のデータ分析や機械学習のプロジェクトに活かしてみてください。