アルゴリズム

[Python] LU分解の計算プログラムを実装する方法

2025-04-15更新日: 2025-04-15

LU分解は、行列を下三角行列 \(L\) と上三角行列 \(U\) の積に分解する手法です。

PythonでLU分解を実装するには、NumPyやSciPyライブラリを使用するのが一般的です。

SciPyのscipy.linalg.lu関数を使うと、行列 \(A\) を \(P \cdot L \cdot U\) の形に分解できます。

ここで、\(P\) は置換行列、\(L\) は下三角行列、\(U\) は上三角行列です。

手動で実装する場合は、ガウス消去法を用いて行列を操作します。

目次から探す

LU分解とは
PythonでLU分解を行うための準備
SciPyを使ったLU分解の実装
NumPyを使ったLU分解の実装
LU分解を用いた連立方程式の解法
LU分解の応用例
LU分解の計算における注意点
まとめ

LU分解とは

LU分解は、与えられた行列を下三角行列 \(L\) と上三角行列 \(U\) の積として表現する手法です。

この分解により、行列の特性を利用して、連立方程式の解法や行列の逆行列の計算が効率的に行えるようになります。

特に、LU分解は数値計算において非常に重要であり、計算の安定性や効率性を向上させるために広く用いられています。

LU分解は、特に大規模な行列に対して有用であり、数値解析や機械学習などの分野でも活用されています。

PythonでLU分解を行うための準備

必要なライブラリのインストール

LU分解を行うためには、主にNumPyとSciPyというライブラリを使用します。

これらのライブラリは、数値計算や行列演算に特化しており、LU分解を簡単に実装するための関数が用意されています。

以下のコマンドを使用して、これらのライブラリをインストールできます。

pip install numpy scipy

NumPyとSciPyの違い

特徴	NumPy	SciPy
主な用途	基本的な数値計算、配列操作	高度な数値計算、最適化、統計
行列演算機能	基本的な行列演算が可能	LU分解やQR分解などの高度な機能
パフォーマンス	高速な配列処理が可能	NumPyを基盤にしているため、効率的

NumPyは基本的な数値計算を行うためのライブラリであり、SciPyはその上に構築されており、より高度な数値計算や科学技術計算を行うための機能を提供します。

LU分解を行う際には、SciPyを使用することが一般的です。

LU分解に必要な数学的知識

LU分解を理解するためには、以下の数学的知識が必要です。

行列の定義: 行列とは、数値を格納するための二次元の配列です。
行列の演算: 行列の加算、減算、乗算の基本的なルールを理解しておく必要があります。
三角行列: 上三角行列と下三角行列の定義と性質を知っておくことが重要です。
連立方程式: 行列を用いた連立方程式の表現方法と解法の基本を理解しておくと、LU分解の応用がスムーズになります。

これらの知識を持っていることで、LU分解の実装やその結果の解釈が容易になります。

SciPyを使ったLU分解の実装

scipy.linalg.lu関数の使い方

SciPyライブラリのscipy.linalgモジュールには、LU分解を行うためのlu関数が用意されています。

この関数を使用することで、行列を簡単にLU分解することができます。

基本的な使い方は以下の通りです。

from scipy.linalg import lu
# 行列の定義
A = [[4, 3], [6, 3]]
# LU分解の実行
P, L, U = lu(A)

LU分解の結果の解釈

LU分解の結果として得られるのは、以下の3つの行列です。

置換行列 \(P\): 行列の行を入れ替えるための行列です。

LU分解では、数値的安定性を向上させるために行の入れ替えが行われることがあります。

下三角行列 \(L\): 対角成分が1で、その他の成分が0またはそれ以外の数値で構成される行列です。
上三角行列 \(U\): 対角成分とそれより上の成分が全て非ゼロで、下の成分が全て0である行列です。

これらの行列を用いることで、元の行列を再構成することができます。

具体的には、次のような関係が成り立ちます。

\[\mathbf{PA} = \mathbf{LU}\]

置換行列 \(P\)、下三角行列 \(L\)、上三角行列 \(U\) の確認方法

LU分解の結果として得られた行列 \(P\)、\(L\)、\(U\) を確認するためには、以下のように出力することができます。

print("置換行列 P:")
print(P)
print("下三角行列 L:")
print(L)
print("上三角行列 U:")
print(U)

実際のコード例

以下に、SciPyを使用してLU分解を実行し、結果を確認するコードの例を示します。

import numpy as np
from scipy.linalg import lu
# 行列の定義
A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
# LU分解の実行
P, L, U = lu(A)
# 結果の表示
print("置換行列 P:")
print(P)
print("下三角行列 L:")
print(L)
print("上三角行列 U:")
print(U)

出力結果は以下のようになります。

置換行列 P:
[[0. 1.]
 [1. 0.]]
下三角行列 L:
[[1.         0.        ]
 [0.66666667 1.        ]]
上三角行列 U:
[[6.         3.        ]
 [0.         1.        ]]

このコードを実行することで、LU分解の結果として得られる行列 \(P\)、\(L\)、\(U\) を確認することができます。

NumPyを使ったLU分解の実装

numpy.linalgモジュールの紹介

NumPyライブラリのnumpy.linalgモジュールは、線形代数に関連する様々な機能を提供しています。

このモジュールには、行列の逆行列計算、行列式の計算、固有値問題の解法などが含まれていますが、LU分解を直接行う関数は用意されていません。

しかし、NumPyを使用してLU分解を手動で実装することが可能です。

LU分解を手動で実装する方法

LU分解を手動で実装するためには、行列を下三角行列 \(L\) と上三角行列 \(U\) に分解するアルゴリズムを理解する必要があります。

基本的な手順は以下の通りです。

行列 \(A\) を \(L\) と \(U\) に分解する。
\(U\) の上三角部分を計算する。
\(L\) の下三角部分を計算する。
\(L\) の対角成分は全て1に設定する。

ガウス消去法を用いたLU分解の手順

LU分解を行う際に、ガウス消去法を用いることが一般的です。

以下の手順で行います。

行列の最初の列を基準にして、他の行を消去していく。
各ステップで、消去した行の係数を \(L\) に記録する。
最終的に、上三角行列 \(U\) と下三角行列 \(L\) を得る。

実際のコード例

以下に、NumPyを使用してLU分解を手動で実装するコードの例を示します。

import numpy as np
def lu_decomposition(A):
    n = A.shape[0]
    L = np.zeros((n, n))
    U = np.zeros((n, n))
    for i in range(n):
        # 上三角行列 U の計算
        for j in range(i, n):
            U[i, j] = A[i, j] - np.sum(L[i, :i] * U[:i, j])
        
        # 下三角行列 L の計算
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                L[i, i] = 1  # 対角成分は1
            else:
                L[j, i] = (A[j, i] - np.sum(L[j, :i] * U[:i, i])) / U[i, i]
    return L, U
# 行列の定義
A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
# LU分解の実行
L, U = lu_decomposition(A)
# 結果の表示
print("下三角行列 L:")
print(L)
print("上三角行列 U:")
print(U)

出力結果は以下のようになります。

下三角行列 L:
[[1.         0.        ]
 [1.5        1.        ]]
上三角行列 U:
[[4. 3.]
 [0. 1.5]]

このコードを実行することで、NumPyを使用してLU分解を手動で実装し、得られた行列 \(L\) と \(U\) を確認することができます。

LU分解を用いた連立方程式の解法

LU分解を使うメリット

LU分解を用いることで、連立方程式の解法が効率的になります。

主なメリットは以下の通りです。

計算の効率化: 一度LU分解を行えば、同じ行列に対して異なる右辺ベクトルを持つ連立方程式を迅速に解くことができます。
数値的安定性: LU分解は、特に大規模な行列に対して数値的に安定した解法を提供します。
再利用性: LU分解の結果を再利用することで、計算コストを削減できます。

前進代入と後退代入の手法

LU分解を用いて連立方程式を解く際には、以下の2つの手法を使用します。

前進代入: 下三角行列 \(L\) を用いて、まず中間変数\(y\) を求めます。

これは、次のような形の方程式を解くことに相当します。

\[ L\mathbf{y} = \mathbf{b} \]

後退代入: 次に、上三角行列 \(U\) を用いて、最終的な解 \(x\) を求めます。

これは、次のような形の方程式を解くことに相当します。

\[ U\mathbf{x} = \mathbf{y} \]

具体的な連立方程式の解法例

例えば、次の連立方程式を考えます。

\[\begin{align*}4x + 3y &= 10 \\6x + 3y &= 12\end{align*}\]

この方程式を行列形式で表すと、次のようになります。

\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 10 \\ 12 \end{pmatrix}\]

LU分解を用いてこの連立方程式を解くことができます。

実際のコード例

以下に、LU分解を用いて連立方程式を解くコードの例を示します。

import numpy as np
from scipy.linalg import lu
def solve_linear_equation(A, b):
    # LU分解の実行
    P, L, U = lu(A)
    
    # 前進代入で中間変数 y を求める
    y = np.linalg.solve(L, np.dot(P, b))
    
    # 後退代入で解 x を求める
    x = np.linalg.solve(U, y)
    
    return x
# 行列 A とベクトル b の定義
A = np.array([[4, 3], [6, 3]])
b = np.array([10, 12])
# 連立方程式の解を求める
solution = solve_linear_equation(A, b)
# 結果の表示
print("解 x, y:")
print(solution)

出力結果は以下のようになります。