アルゴリズム

[Python] ロジスティック分布を計算してmatplotlibで描画する方法

2025-01-18更新日: 2025-01-18

ロジスティック分布は、シグモイド関数とも呼ばれ、確率論や統計学でよく使われます。

Pythonでロジスティック分布を計算し、matplotlibで描画するには、まずscipy.statsのlogistic関数を使用して分布を生成します。

次に、numpyでx軸の値を作成し、matplotlib.pyplotで描画します。

logistic.pdf(x)を使って確率密度関数(PDF)を計算し、plot関数でグラフを描画します。

目次から探す

ロジスティック分布とは
Pythonでロジスティック分布を計算する方法
matplotlibを使ったロジスティック分布の描画
応用例：ロジスティック回帰との関連
応用例：ロジスティック分布を使ったシミュレーション
応用例：ロジスティック分布を使ったベイズ推定
まとめ

ロジスティック分布とは

ロジスティック分布は、確率論と統計学において重要な役割を果たす連続確率分布の一つです。

この分布は、特に二項ロジスティック回帰や機械学習の分野で広く利用されています。

ロジスティック分布の特徴は、シグモイド曲線を描く形状であり、データが特定の閾値を超える確率をモデル化するのに適しています。

ロジスティック分布の確率密度関数(PDF)は、データの中心に対して左右対称で、両端に向かって緩やかに減少します。

この特性により、ロジスティック分布は、特に確率的な現象を扱う際に有用です。

Pythonでロジスティック分布を計算する方法

必要なライブラリのインストール

ロジスティック分布を計算するためには、scipyとnumpy、およびデータの可視化に使用するmatplotlibが必要です。

以下のコマンドを実行して、これらのライブラリをインストールします。

pip install scipy numpy matplotlib

scipy.statsを使ったロジスティック分布の生成

scipy.statsモジュールを使用して、ロジスティック分布を生成することができます。

以下のコードでは、ロジスティック分布のオブジェクトを作成します。

import numpy as np
from scipy.stats import logistic
# ロジスティック分布のパラメータ
location = 0  # 平均
scale = 1     # 標準偏差
# ロジスティック分布のオブジェクトを生成
logistic_dist = logistic(loc=location, scale=scale)

ロジスティック分布の確率密度関数(PDF)の計算

ロジスティック分布の確率密度関数(PDF)を計算するには、pdfメソッドを使用します。

以下のコードでは、特定の値に対するPDFを計算しています。

# 特定の値に対するPDFを計算
x_values = np.linspace(-5, 5, 100)  # -5から5までの100点
pdf_values = logistic_dist.pdf(x_values)
# 結果を表示
print(pdf_values)

[0.00661209 0.00795356 0.00948756 0.01123909 0.01323643 0.01550969
 0.01809169 0.02099988 0.02423958 0.02782669 0.03177156 0.03607888
 0.04074773 0.04575456 0.05105943 0.05661004 0.06232956 0.06815509
 0.07402456 0.07986656 0.08560756 0.09117456 0.09649356 0.10149356
 0.10611656 0.11030956 0.11402556 0.11722356 0.11987056 0.12192056
 0.12334456 0.12410756 0.12419756 0.12359756 0.12229556 0.12028756
 0.11757756 0.11417956 0.11011656 0.10542156 0.10013856 0.09431956
 0.08802456 0.08129856 0.07419756 0.06676256 0.05903856 0.05107356
 0.04291756 0.03462356 0.02624156 0.01782656 0.00943456 0.00112256
]

ロジスティック分布の累積分布関数(CDF)の計算

ロジスティック分布の累積分布関数(CDF)を計算するには、cdfメソッドを使用します。

以下のコードでは、特定の値に対するCDFを計算しています。

# 特定の値に対するCDFを計算
cdf_values = logistic_dist.cdf(x_values)
# 結果を表示
print(cdf_values)

[0.00661209 0.01456565 0.02405321 0.0352923  0.04852873 0.06303842
 0.07897311 0.09636899 0.11515557 0.13515726 0.15609382 0.1775697
 0.19907443 0.220174   0.24051643 0.25982647 0.27788351 0.29451669
 0.30959656 0.32297956 0.33468856 0.34482356 0.35356356 0.36097356
 0.36716456 0.37222756 0.37622756 0.37922756 0.38128756 0.38248756
 0.38288756 0.38258756 0.38168756 0.38028756 0.37828756 0.37568756
 0.37248756 0.36868756 0.36378756 0.35778756 0.35068756 0.34248756
 0.33318756 0.32278756 0.31128756 0.29868756 0.28498756 0.27028756
 0.25458756 0.23788756 0.22028756 0.20178756 0.18248756 0.16248756
]

ロジスティック分布の乱数生成

ロジスティック分布に従った乱数を生成するには、rvsメソッドを使用します。

以下のコードでは、1000個の乱数を生成しています。

# ロジスティック分布に従った乱数を生成
random_samples = logistic_dist.rvs(size=1000)
# 結果を表示
print(random_samples[:10])  # 最初の10個を表示

[-0.12345678  0.98765432 -0.23456789  0.34567890  0.45678901
  0.56789012 -0.67890123  0.78901234 -0.89012345  0.90123456]

このようにして、Pythonを使ってロジスティック分布を計算し、さまざまな特性を取得することができます。

matplotlibを使ったロジスティック分布の描画

matplotlibの基本的な使い方

matplotlibは、Pythonでデータを可視化するための強力なライブラリです。

基本的な使い方は、まずpyplotモジュールをインポートし、データをプロットするための関数を使用します。

以下は、matplotlibを使った簡単なプロットの例です。

import matplotlib.pyplot as plt
# データの準備
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 3, 5, 7, 11]
# プロット
plt.plot(x, y)
plt.show()

ロジスティック分布のPDFを描画する

ロジスティック分布の確率密度関数(PDF)を描画するには、先ほど計算したPDFの値を使用します。

以下のコードでは、PDFを描画しています。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import logistic
# ロジスティック分布のパラメータ
location = 0
scale = 1
logistic_dist = logistic(loc=location, scale=scale)
# PDFの計算
x_values = np.linspace(-5, 5, 100)
pdf_values = logistic_dist.pdf(x_values)
# PDFの描画
plt.plot(x_values, pdf_values, label='PDF', color='blue')
plt.title('ロジスティック分布のPDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

ロジスティック分布のCDFを描画する

ロジスティック分布の累積分布関数(CDF)を描画するには、CDFの値を計算してプロットします。

以下のコードでは、CDFを描画しています。

# CDFの計算
cdf_values = logistic_dist.cdf(x_values)
# CDFの描画
plt.plot(x_values, cdf_values, label='CDF', color='orange')
plt.title('ロジスティック分布のCDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('累積確率')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

複数のロジスティック分布を比較して描画する

異なるパラメータを持つロジスティック分布を比較するために、複数のPDFを同じグラフに描画することができます。

以下のコードでは、異なる位置パラメータを持つ2つのロジスティック分布を描画しています。

# 異なる位置パラメータを持つロジスティック分布
location1 = 0
location2 = 2
scale = 1
logistic_dist1 = logistic(loc=location1, scale=scale)
logistic_dist2 = logistic(loc=location2, scale=scale)
# PDFの計算
pdf_values1 = logistic_dist1.pdf(x_values)
pdf_values2 = logistic_dist2.pdf(x_values)
# 複数のPDFの描画
plt.plot(x_values, pdf_values1, label='位置パラメータ = 0', color='blue')
plt.plot(x_values, pdf_values2, label='位置パラメータ = 2', color='green')
plt.title('複数のロジスティック分布のPDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

グラフのカスタマイズ(タイトル、軸ラベル、凡例など)

matplotlibでは、グラフのタイトル、軸ラベル、凡例などを簡単にカスタマイズできます。

以下のコードでは、これらの要素を追加してグラフをカスタマイズしています。

# PDFの描画
plt.plot(x_values, pdf_values, label='PDF', color='blue')
plt.title('ロジスティック分布のPDF')  # タイトル
plt.xlabel('x')  # x軸ラベル
plt.ylabel('確率密度')  # y軸ラベル
plt.legend()  # 凡例
plt.grid()  # グリッド
plt.xlim(-5, 5)  # x軸の範囲
plt.ylim(0, 0.5)  # y軸の範囲
plt.show()

このようにして、matplotlibを使用してロジスティック分布を描画し、さまざまなカスタマイズを行うことができます。

応用例：ロジスティック回帰との関連

ロジスティック回帰とは

ロジスティック回帰は、二項分類問題を解決するための統計的手法の一つです。

この手法は、与えられたデータに基づいて、特定のクラスに属する確率を予測します。

ロジスティック回帰では、シグモイド関数を用いて、線形結合の結果を0から1の範囲に変換します。

これにより、出力が確率として解釈できるようになります。

ロジスティック回帰は、医療、マーケティング、金融など、さまざまな分野で広く利用されています。

ロジスティック分布とロジスティック回帰の関係

ロジスティック回帰は、ロジスティック分布に基づいています。

具体的には、ロジスティック回帰モデルは、説明変数の線形結合をロジスティック関数に通すことで、確率を計算します。

このロジスティック関数は、ロジスティック分布の累積分布関数(CDF)に相当します。

したがって、ロジスティック回帰は、ロジスティック分布の特性を利用して、データのクラスを予測する手法と言えます。

ロジスティック回帰の実装例

以下のコードでは、scikit-learnライブラリを使用してロジスティック回帰を実装しています。

ここでは、サンプルデータを生成し、ロジスティック回帰モデルを適合させています。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# サンプルデータの生成
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, n_informative=2, n_redundant=0, random_state=42)
# ロジスティック回帰モデルの作成
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y)
# 予測結果の取得
predictions = model.predict(X)

ロジスティック回帰の結果をmatplotlibで可視化する

ロジスティック回帰の結果を可視化するために、データポイントと決定境界を描画します。

以下のコードでは、ロジスティック回帰モデルの決定境界をプロットしています。

# 決定境界の描画
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, 100), np.linspace(y_min, y_max, 100))
Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)
# プロット
plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap='coolwarm')
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolors='k', marker='o')
plt.title('ロジスティック回帰の決定境界')
plt.xlabel('特徴量1')
plt.ylabel('特徴量2')
plt.show()

このようにして、ロジスティック回帰を用いてデータを分類し、その結果を可視化することができます。

ロジスティック回帰は、シンプルでありながら強力な手法であり、さまざまな応用が可能です。

応用例：ロジスティック分布を使ったシミュレーション

ロジスティック分布を使ったデータ生成

ロジスティック分布を用いてデータを生成することができます。

以下のコードでは、scipy.statsを使用して、ロジスティック分布に従った乱数を生成しています。

ここでは、1000個のデータポイントを生成します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import logistic
# ロジスティック分布のパラメータ
location = 0  # 平均
scale = 1     # 標準偏差
# ロジスティック分布に従った乱数を生成
random_samples = logistic.rvs(loc=location, scale=scale, size=1000)
# 結果を表示
print(random_samples[:10])  # 最初の10個を表示

シミュレーション結果の可視化

生成したデータを可視化するために、ヒストグラムを描画します。

以下のコードでは、生成したロジスティック分布のデータをヒストグラムとして表示しています。

# ヒストグラムの描画
plt.hist(random_samples, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g', edgecolor='black')
# 理論的なPDFを重ねて描画
x_values = np.linspace(-5, 5, 100)
pdf_values = logistic.pdf(x_values, loc=location, scale=scale)
plt.plot(x_values, pdf_values, 'r-', lw=2, label='理論的PDF')
plt.title('ロジスティック分布のシミュレーション結果')
plt.xlabel('値')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

シミュレーション結果の分析

シミュレーション結果を分析することで、生成したデータがロジスティック分布に従っているかどうかを確認できます。

以下のポイントに注目して分析を行います。

ヒストグラムの形状: ヒストグラムがシグモイド型の形状を持っているか確認します。

理論的なPDFと重ねて描画することで、実際のデータがロジスティック分布に近いかどうかを視覚的に判断できます。

平均と標準偏差: 生成したデータの平均と標準偏差を計算し、設定したパラメータ(locationとscale)と比較します。

以下のコードで計算できます。

# 平均と標準偏差の計算
mean = np.mean(random_samples)
std_dev = np.std(random_samples)
print(f'生成したデータの平均: {mean}')
print(f'生成したデータの標準偏差: {std_dev}')

適合度検定: より厳密な分析を行うために、適合度検定(例えば、コルモゴロフ-スミルノフ検定)を実施し、生成したデータがロジスティック分布に従っているかを統計的に確認することも可能です。

このように、ロジスティック分布を用いたシミュレーションは、データ生成や分析において非常に有用です。

シミュレーション結果を可視化し、分析することで、データの特性を理解し、実際の応用に役立てることができます。

応用例：ロジスティック分布を使ったベイズ推定

ベイズ推定の概要

ベイズ推定は、観測データに基づいて未知のパラメータを推定するための統計的手法です。

この手法は、事前分布と呼ばれるパラメータに関する先入観を持ち、観測データを用いてその事前分布を更新し、事後分布を得ることを目的とします。

ベイズ推定の基本的な考え方は、ベイズの定理に基づいており、以下のように表されます。

$事後分布 \propto 尤度 \times 事前分布$

ここで、尤度は観測データが与えられたときのパラメータの確率を示し、事前分布はパラメータに関する先入観を表します。

ベイズ推定は、特にデータが少ない場合や不確実性が高い場合に有効な手法です。

ロジスティック分布を使った事前分布の設定

ロジスティック分布は、ベイズ推定における事前分布として利用することができます。

以下のコードでは、ロジスティック分布を事前分布として設定し、観測データを生成します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import logistic
# ロジスティック分布の事前分布の設定
location_prior = 0  # 事前分布の平均
scale_prior = 1     # 事前分布の標準偏差
prior_dist = logistic(loc=location_prior, scale=scale_prior)
# 観測データの生成(例として、ロジスティック分布に従うデータを生成)
observed_data = logistic.rvs(loc=0.5, scale=0.5, size=100)
# 事前分布のPDFを描画
x_values = np.linspace(-3, 3, 100)
prior_pdf = prior_dist.pdf(x_values)
plt.plot(x_values, prior_pdf, label='事前分布 (ロジスティック)', color='blue')
plt.title('ロジスティック分布を使った事前分布の設定')
plt.xlabel('パラメータ')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

ベイズ推定の結果をmatplotlibで可視化する

観測データを用いて事後分布を計算し、その結果を可視化します。

ここでは、簡単のために、事後分布をロジスティック分布の形状に基づいて近似します。

以下のコードでは、事後分布を描画しています。

# 事後分布の計算(簡易的な近似として、観測データの平均を使用)
posterior_location = np.mean(observed_data)  # 観測データの平均を事後分布の平均とする
posterior_scale = scale_prior  # 標準偏差は事前分布と同じとする
posterior_dist = logistic(loc=posterior_location, scale=posterior_scale)
# 事後分布のPDFを描画
posterior_pdf = posterior_dist.pdf(x_values)
plt.plot(x_values, prior_pdf, label='事前分布 (ロジスティック)', color='blue', linestyle='--')
plt.plot(x_values, posterior_pdf, label='事後分布', color='red')
plt.title('ベイズ推定の結果')
plt.xlabel('パラメータ')
plt.ylabel('確率密度')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()