アルゴリズム

[Python] 挿入ソートを実装する方法

2025-04-15更新日: 2025-04-15

挿入ソートは、リストを部分的にソートしながら要素を挿入していくアルゴリズムです。

Pythonで実装する際は、外側のループでリストの2番目の要素から順に選び、内側のループでその要素を適切な位置に挿入します。

具体的には、選んだ要素を前の要素と比較しながら、適切な位置に移動させます。

時間計算量は最悪の場合で $O (n^{2})$ ですが、ほぼ整列済みのリストに対しては効率的です。

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挿入ソートとは

挿入ソートは、データを整列させるためのシンプルで直感的なアルゴリズムの一つです。

このアルゴリズムは、リストを二つの部分に分け、左側をソート済み、右側を未ソートと見なします。

未ソートの部分から一つずつ要素を取り出し、ソート済みの部分に適切な位置に挿入していくことで、全体を整列させます。

挿入ソートは、特にデータがほぼ整列されている場合に効率的であり、安定なソートアルゴリズムとしても知られています。

計算量は最悪の場合で $O (n^{2})$ ですが、平均的には $O (n^{2})$ 、最良の場合は $O (n)$ となります。

挿入ソートのアルゴリズム

アルゴリズムの概要

挿入ソートは、リストを二つの部分に分けて処理を行います。

最初に、最初の要素をソート済み部分とし、次の要素を未ソート部分から取り出します。

この要素をソート済み部分の適切な位置に挿入することで、ソート済み部分が一つずつ拡大していきます。

このプロセスを未ソート部分がなくなるまで繰り返します。

挿入ソートは、特にデータがほぼ整列されている場合に効率的に動作します。

挿入ソートの擬似コード

以下は、挿入ソートの擬似コードです。

for i from 1 to length(A) - 1 do
    key = A[i]
    j = i - 1
    while j >= 0 and A[j] > key do
        A[j + 1] = A[j]
        j = j - 1
    end while
    A[j + 1] = key
end for

挿入ソートの動作例

小さなリストでの動作例

例えば、リスト $[5, 2, 4, 6, 1, 3]$ を挿入ソートで整列させる場合、以下のように進行します。

初期状態: $[5, 2, 4, 6, 1, 3]$ (ソート済み部分: $[5]$ )
2を挿入: $[2, 5, 4, 6, 1, 3]$ (ソート済み部分: $[2, 5]$ )
4を挿入: $[2, 4, 5, 6, 1, 3]$ (ソート済み部分: $[2, 4, 5]$ )
6を挿入: $[2, 4, 5, 6, 1, 3]$ (ソート済み部分: $[2, 4, 5, 6]$ )
1を挿入: $[1, 2, 4, 5, 6, 3]$ (ソート済み部分: $[1, 2, 4, 5, 6]$ )
3を挿入: $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$ (ソート済み部分: $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$ )

最終的に、リストは $[1, 2, 3, 4, 5, 6]$ に整列されます。

大きなリストでの動作例

次に、リスト $[12, 11, 13, 5, 6]$ を挿入ソートで整列させる場合の動作を示します。

初期状態: $[12, 11, 13, 5, 6]$ (ソート済み部分: $[12]$ )
11を挿入: $[11, 12, 13, 5, 6]$ (ソート済み部分: $[11, 12]$ )
13を挿入: $[11, 12, 13, 5, 6]$ (ソート済み部分: $[11, 12, 13]$ )
5を挿入: $[5, 11, 12, 13, 6]$ (ソート済み部分: $[5, 11, 12, 13]$ )
6を挿入: $[5, 6, 11, 12, 13]$ (ソート済み部分: $[5, 6, 11, 12, 13]$ )

最終的に、リストは $[5, 6, 11, 12, 13]$ に整列されます。

Pythonでの挿入ソートの実装

基本的な実装方法

Pythonでの挿入ソートは、リストを二つの部分に分けて処理を行います。

最初の要素をソート済み部分とし、次の要素を未ソート部分から取り出して、ソート済み部分に適切に挿入します。

このプロセスを繰り返すことで、リスト全体を整列させます。

基本的な実装はシンプルで、Pythonのリスト操作を活用することができます。

実装のステップバイステップ解説

ループの使い方

挿入ソートでは、外側のループを使用して未ソート部分の各要素を順に処理します。

内側のループでは、ソート済み部分の要素を逆順に走査し、挿入位置を見つけます。

これにより、要素を適切な位置に挿入することができます。

要素の比較と挿入

内側のループでは、現在の要素(key)とソート済み部分の要素を比較します。

keyが小さい場合、ソート済み部分の要素を一つずつ後ろにずらし、keyを適切な位置に挿入します。

この比較と挿入のプロセスが、挿入ソートの核心です。

ソート済み部分と未ソート部分の管理

ソート済み部分は、最初は一つの要素から始まり、未ソート部分から要素を取り出すごとに拡大していきます。

未ソート部分は、リストの残りの要素を指し、外側のループが進むにつれて減少していきます。

実装例のコード

以下は、Pythonでの挿入ソートの実装例です。

def insertion_sort(arr):
    # 配列の長さを取得
    n = len(arr)
    # 未ソート部分の各要素を処理
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]  # 現在の要素
        j = i - 1
        # ソート済み部分を逆順に走査
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]  # 要素を後ろにずらす
            j -= 1
        arr[j + 1] = key  # keyを適切な位置に挿入
# 使用例
sample_list = [12, 11, 13, 5, 6]
insertion_sort(sample_list)
print(sample_list)

[5, 6, 11, 12, 13]

実装のポイントと注意点

安定性: 挿入ソートは安定なソートアルゴリズムであり、同じ値の要素の順序が保持されます。
効率性: データがほぼ整列されている場合、挿入ソートは非常に効率的です。
計算量: 最悪の場合の計算量は $O (n^{2})$ ですが、最良の場合は $O (n)$ です。
メモリ使用量: 挿入ソートは、追加のメモリをほとんど必要としないため、インプレースソートとしても知られています。

完全なサンプルコード

以下は、挿入ソートの完全なサンプルコードです。

def insertion_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key
# 使用例
sample_list = [12, 11, 13, 5, 6]
insertion_sort(sample_list)
print(sample_list)  # 出力: [5, 6, 11, 12, 13]

このコードを実行すると、リストが整列されて出力されます。

挿入ソートの時間計算量

挿入ソートの最悪時の計算量

挿入ソートの最悪時の計算量は $O (n^{2})$ です。

これは、リストが逆順に整列されている場合に発生します。

この場合、各要素を挿入する際に、すべてのソート済み部分の要素と比較する必要があるため、内側のループが最大で $n - 1$ 回実行されます。

したがって、全体の計算量は次のようになります。

$最悪時の計算量 = O (n) + O (n - 1) + O (n - 2) + \dots + O (1) = O (n^{2})$

挿入ソートの平均時の計算量

挿入ソートの平均時の計算量も $O (n^{2})$ です。

これは、リストの要素がランダムに並んでいる場合に適用されます。

平均的には、各要素を挿入する際に、ソート済み部分の半分の要素と比較することになります。

したがって、内側のループの実行回数はおおよそ $n / 2$ 回となり、全体の計算量は次のようになります。

$平均時の計算量 = O (\frac{n (n - 1)}{4}) = O (n^{2})$

挿入ソートの最良時の計算量

挿入ソートの最良時の計算量は $O (n)$ です。

これは、リストがすでに整列されている場合に発生します。

この場合、各要素はそのままの位置に挿入されるため、内側のループは一度も実行されず、外側のループだけが実行されます。

したがって、全体の計算量は次のようになります。

$最良時の計算量 = O (n)$

他のソートアルゴリズムとの比較

挿入ソートの計算量を他の一般的なソートアルゴリズムと比較すると、以下のようになります。

ソートアルゴリズム	最悪時の計算量	平均時の計算量	最良時の計算量
挿入ソート	$O (n^{2})$	$O (n^{2})$	$O (n)$
バブルソート	$O (n^{2})$	$O (n^{2})$	$O (n)$
選択ソート	$O (n^{2})$	$O (n^{2})$	$O (n^{2})$
マージソート	$O (n \log n)$	$O (n \log n)$	$O (n \log n)$
クイックソート	$O (n^{2})$	$O (n \log n)$	$O (n \log n)$

挿入ソートは、特にデータがほぼ整列されている場合に効率的ですが、大規模なデータセットに対しては、マージソートやクイックソートのような他のアルゴリズムの方が優れた性能を発揮します。

挿入ソートの応用例

ほぼ整列済みのデータに対する効率性

挿入ソートは、データがほぼ整列されている場合に非常に効率的です。

このような状況では、最良時の計算量 $O (n)$ が適用され、要素の移動が最小限に抑えられます。

例えば、データが部分的にソートされている場合、挿入ソートは必要な比較回数が少なく、迅速に整列を完了することができます。

この特性を利用して、リアルタイムデータの処理や、ユーザーが入力したデータの即時整列などに活用されます。

小規模データセットでの使用

挿入ソートは、小規模なデータセットに対しても効果的です。

データのサイズが小さい場合、アルゴリズムのオーバーヘッドが少なく、シンプルな実装が可能です。

例えば、数十個の要素を持つリストを整列させる場合、挿入ソートは他の複雑なアルゴリズムよりも高速に動作します。

このため、特に小さなデータセットを扱う場合には、挿入ソートが選ばれることがあります。

他のソートアルゴリズムとの組み合わせ

挿入ソートは、他のソートアルゴリズムと組み合わせて使用されることもあります。

特に、データの特性に応じて最適なアルゴリズムを選択することで、全体のパフォーマンスを向上させることができます。

以下に、挿入ソートと他のアルゴリズムの組み合わせの例を示します。

シェルソートとの関連

シェルソートは、挿入ソートの一般化されたバージョンであり、要素を間隔を空けて比較・挿入することで、全体の整列を効率化します。

シェルソートの内部で挿入ソートを使用することで、部分的に整列されたデータに対して高い効率を発揮します。

シェルソートは、最初に大きな間隔で要素を整列させ、その後、間隔を縮めて挿入ソートを適用することで、全体の整列を迅速に行います。

クイックソートとの組み合わせ

クイックソートは、平均的に $O (n \log n)$ の計算量を持つ非常に効率的なソートアルゴリズムですが、データが小さくなるとそのオーバーヘッドが問題になることがあります。

そこで、クイックソートの再帰的な部分で、データセットが一定のサイズ以下になった場合に挿入ソートを適用する手法が取られます。

このアプローチにより、クイックソートのパフォーマンスを向上させることができ、特に小さなサブリストに対しては挿入ソートが効果的に機能します。

挿入ソートの改良

バイナリ挿入ソート

バイナリ挿入ソートは、通常の挿入ソートを改良したアルゴリズムで、ソート済み部分に要素を挿入する位置を二分探索を用いて効率的に見つける方法です。

これにより、要素の挿入位置を見つける際の比較回数を減らし、全体のパフォーマンスを向上させることができます。

バイナリ挿入ソートは、特にデータがほぼ整列されている場合に効果的です。

バイナリ挿入ソートのアルゴリズム

バイナリ挿入ソートのアルゴリズムは以下のようになります。

リストの最初の要素をソート済み部分とする。
未ソート部分から要素を一つ取り出す。
ソート済み部分に対して二分探索を行い、挿入位置を見つける。
見つけた位置に要素を挿入し、必要に応じて他の要素を後ろにずらす。
未ソート部分がなくなるまで、2～4のプロセスを繰り返す。

バイナリ挿入ソートの実装方法

以下は、Pythonでのバイナリ挿入ソートの実装例です。

def binary_search(arr, key, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        if arr[mid] < key:
            start = mid + 1
        else:
            end = mid - 1
    return start
def binary_insertion_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(1, n):
        key = arr[i]
        # 二分探索で挿入位置を見つける
        pos = binary_search(arr, key, 0, i - 1)
        # 要素を後ろにずらす
        arr = arr[:pos] + [key] + arr[pos:i] + arr[i + 1:]
    return arr
# 使用例
sample_list = [12, 11, 13, 5, 6]
sorted_list = binary_insertion_sort(sample_list)
print(sorted_list)