[Python] ドラゴン曲線を計算してmatplotlibで描画する方法

Q: 他のフラクタル図形も同様に描画できる？

はい、他のフラクタル図形も同様に描画することができます。 Pythonのmatplotlibやnumpyなどのライブラリを使用すれば、マンデルブロ集合やジュリア集合、コッホ曲線など、さまざまなフラクタルを生成し描画することが可能です。 各フラクタルには独自の生成アルゴリズムがあるため、実装方法は異なりますが、基本的な描画手法は共通しています。 フラクタルの特性を理解することで、さまざまな形状やパターンを視覚的に表現することができます。

ドラゴン曲線は、自己相似性を持つフラクタル曲線の一種です。

Pythonでドラゴン曲線を描画するには、まず再帰的なアルゴリズムを使用して曲線の座標を計算し、その後、matplotlibを使って描画します。

基本的な手順としては、初期の直線を設定し、回転と反転を繰り返して新しい点を生成します。

matplotlibのplot関数を使って、計算した座標をプロットすることでドラゴン曲線を描画できます。

この記事でわかること

ドラゴン曲線の基本的な概念
再帰的な生成方法の特徴
matplotlibを使った描画手法
ドラゴン曲線の応用例
他のフラクタルとの比較ポイント

目次から探す

ドラゴン曲線とは

ドラゴン曲線は、自己相似性を持つフラクタル図形の一種で、非常に美しい形状を持っています。

この曲線は、再帰的な生成方法によって作成され、特定のルールに従って折りたたまれることで形成されます。

最初は直線から始まり、次第に複雑な形状へと変化していきます。

ドラゴン曲線は、コンピュータ科学や数学の分野での研究だけでなく、アートやデザインの分野でも広く利用されています。

その独特な形状は、視覚的な魅力を持ち、さまざまな応用が可能です。

ドラゴン曲線の生成アルゴリズム

再帰的な生成方法

ドラゴン曲線は、再帰的な手法を用いて生成されます。

基本的なアイデアは、初期の直線を基にして、特定のルールに従って新しい部分を追加していくことです。

最初のステップでは直線を描き、次のステップではその直線を折りたたむことで新しい形状を作り出します。

このプロセスを繰り返すことで、複雑なフラクタルが形成されます。

回転と反転の概念

ドラゴン曲線の生成には、回転と反転の操作が重要な役割を果たします。

具体的には、直線の一部を90度回転させたり、反転させたりすることで新しい部分を追加します。

この操作により、曲線は自己相似性を持ち、各ステップで新しいパターンが生まれます。

回転と反転の組み合わせが、ドラゴン曲線の独特な形状を生み出す要因となっています。

ドラゴン曲線のルールとパターン

ドラゴン曲線の生成には、以下の基本的なルールがあります：

スクロールできます

ステップ	操作内容
1	初期状態は直線
2	直線を折りたたむ
3	折りたたんだ部分を回転
4	新しい部分を追加

このルールに従って、各ステップで新しい部分が追加され、最終的に複雑なフラクタルが形成されます。

生成ステップの具体例

ドラゴン曲線の生成を具体的に見てみましょう。

最初のステップでは、単純な直線が描かれます。

次のステップでは、その直線を折りたたみ、さらにその折りたたまれた部分を回転させて新しい形状を作ります。

以下は、最初の数ステップの例です：

ステップ0: 直線
ステップ1: 折りたたみ
ステップ2: 回転と新しい部分の追加
ステップ3: 再度折りたたみ、回転

このように、各ステップで新しい形状が生成され、最終的にドラゴン曲線が完成します。

Pythonでドラゴン曲線を計算する方法

必要なライブラリのインストール

ドラゴン曲線を計算し描画するためには、Pythonのmatplotlibライブラリが必要です。

以下のコマンドを使用して、matplotlibをインストールします。

pip install matplotlib

座標計算の基本的な考え方

ドラゴン曲線の座標計算は、直線の始点から始まり、回転と反転の操作を通じて新しい座標を生成します。

基本的な考え方は、現在の座標から新しい座標を計算する際に、角度を90度回転させることです。

具体的には、次のように座標を更新します：

新しい座標 \( (x’, y’) \) は、次のように計算されます：
\( x’ = x + \Delta x \)
\( y’ = y + \Delta y \)

ここで、\( \Delta x \) と \( \Delta y \) は、現在の角度に基づいて計算されます。

再帰関数を使ったドラゴン曲線の実装

再帰関数を使用してドラゴン曲線を生成する方法を示します。

以下のコードは、再帰的にドラゴン曲線の座標を計算します。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def dragon_curve(order, angle=90):
    if order == 0:
        return [(0, 0), (1, 0)]  # 初期状態は直線
    else:
        # 前のステップの座標を取得
        points = dragon_curve(order - 1, angle)
        # 新しい座標を生成
        new_points = points.copy()
        # 反転して新しい部分を追加
        last_point = points[-1]
        for i in range(len(points) - 2, -1, -1):
            x, y = points[i]
            # 原点に平行移動
            x -= last_point[0]
            y -= last_point[1]
            # 回転
            new_x = x * np.cos(np.radians(angle)) - y * np.sin(np.radians(angle))
            new_y = x * np.sin(np.radians(angle)) + y * np.cos(np.radians(angle))
            # 元の位置に平行移動
            new_x += last_point[0]
            new_y += last_point[1]
            new_points.append((new_x, new_y))
        return new_points

# サンプル実行
points = dragon_curve(10)
x, y = zip(*points)
plt.plot(x, y)
plt.axis('equal')
plt.show()

このコードを実行すると、ドラゴン曲線が描画されます。

ループを使った非再帰的な実装方法

ループを使用してドラゴン曲線を生成する方法もあります。

以下のコードは、非再帰的にドラゴン曲線の座標を計算します。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def dragon_curve_iterative(order):
    points = [(0, 0), (1, 0)]  # 初期状態は直線
    for _ in range(order):
        new_points = points.copy()
        last_point = points[-1]
        # 反転して新しい部分を追加
        for i in range(len(points) - 2, -1, -1):
            x, y = points[i]
            # 原点に平行移動
            x -= last_point[0]
            y -= last_point[1]
            # 回転
            new_x = x * np.cos(np.radians(90)) - y * np.sin(np.radians(90))
            new_y = x * np.sin(np.radians(90)) + y * np.cos(np.radians(90))
            # 元の位置に平行移動
            new_x += last_point[0]
            new_y += last_point[1]
            new_points.append((new_x, new_y))
        points = new_points
    return points

# サンプル実行
points = dragon_curve_iterative(10)
x, y = zip(*points)
plt.plot(x, y)
plt.axis('equal')
plt.show()

このコードを実行すると、再帰的な方法と同様にドラゴン曲線が描画されます。

完全なサンプルコード

以下は、再帰的および非再帰的な実装を含む完全なサンプルコードです。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def dragon_curve(order):
    if order == 0:
        return [(0, 0), (1, 0)]
    else:
        points = dragon_curve(order - 1)
        new_points = points.copy()
        last_point = points[-1]
        for i in range(len(points) - 2, -1, -1):
            x, y = points[i]
            x -= last_point[0]
            y -= last_point[1]
            new_x = x * np.cos(np.radians(90)) - y * np.sin(np.radians(90))
            new_y = x * np.sin(np.radians(90)) + y * np.cos(np.radians(90))
            new_x += last_point[0]
            new_y += last_point[1]
            new_points.append((new_x, new_y))
        return new_points

def dragon_curve_iterative(order):
    points = [(0, 0), (1, 0)]
    for _ in range(order):
        new_points = points.copy()
        last_point = points[-1]
        for i in range(len(points) - 2, -1, -1):
            x, y = points[i]
            x -= last_point[0]
            y -= last_point[1]
            new_x = x * np.cos(np.radians(90)) - y * np.sin(np.radians(90))
            new_y = x * np.sin(np.radians(90)) + y * np.cos(np.radians(90))
            new_x += last_point[0]
            new_y += last_point[1]
            new_points.append((new_x, new_y))
        points = new_points
    return points

# 再帰的な実装の実行
points_recursive = dragon_curve(11)
x_recursive, y_recursive = zip(*points_recursive)
plt.plot(x_recursive, y_recursive, label='Recursive')

# 非再帰的な実装の実行
points_iterative = dragon_curve_iterative(10)
x_iterative, y_iterative = zip(*points_iterative)
plt.plot(x_iterative, y_iterative, label='Iterative')

plt.axis('equal')
plt.legend()
plt.show()

このコードを実行すると、再帰的および非再帰的な方法で生成されたドラゴン曲線が同時に描画されます。