アルゴリズム

[Python] 2分法を使って方程式の解を求める

2025-01-18更新日: 2025-01-18

2分法(または二分法)は、連続関数の根を求めるための数値解析手法です。

Pythonで2分法を用いるには、まず解を求めたい方程式をf(x)=0の形にします。

次に、関数fが異なる符号を持つ2つの点aとbを見つけます。

これにより、解がその区間内に存在することが保証されます。

アルゴリズムは、区間の中点cを計算し、f(c)の符号を確認します。

f(c)が0でない場合、f(a)とf(c)またはf(c)とf(b)の符号を比較し、解が含まれる新しい区間を選びます。

このプロセスを、解の精度が十分になるまで繰り返します。

Pythonでは、scipy.optimizeモジュールのbisect関数を使うと便利です。

目次から探す

2分法の基本

2分法とは何か

2分法(バイセクション法)は、数値解析における方程式の解を求めるための手法の一つです。

特に、連続関数の根を求める際に用いられます。

この手法は、解が存在する区間を徐々に狭めていくことで、解を近似的に求める方法です。

具体的には、以下のような手順で進められます。

解を含むと考えられる区間を設定します。
区間の中点を計算し、その点での関数値を評価します。
中点の関数値が0に近ければ、その点を解とします。

そうでなければ、解が存在する可能性のある半分の区間を選びます。

上記の手順を繰り返し、区間を狭めていきます。

2分法の数学的背景

2分法は、連続関数の中間値の定理に基づいています。

この定理は、連続関数がある区間で異なる符号を持つ場合、その区間内に少なくとも一つの根が存在することを保証します。

具体的には、関数 ( f(x) ) が区間 ([a, b]) で連続であり、( f(a) ) と ( f(b) ) が異なる符号を持つ場合、少なくとも一つの ( c ) が存在して ( f(c) = 0 ) となります。

この性質を利用して、2分法では解を含む区間を徐々に狭めていくことで、解を求めることができます。

数学的には、収束の速度は遅いですが、非常に安定した手法です。

2分法の利点と制限

2分法には以下のような利点と制限があります。

利点	制限
簡単で実装が容易	収束速度が遅い
解の存在が保証される	解が一意でない場合がある
初期条件に敏感でない	関数が連続である必要がある

利点としては、アルゴリズムが非常にシンプルで、実装が容易であることが挙げられます。

また、解の存在が保証されるため、信頼性が高い手法です。

一方で、収束速度が遅いため、精度を高めるためには多くの反復が必要となります。

また、関数が連続であることが前提となるため、適用できる問題が限られます。

Pythonでの2分法の実装

必要なライブラリの紹介

Pythonで2分法を実装する際には、特に特別なライブラリは必要ありません。

標準ライブラリのみで実装が可能です。

ただし、数値計算やグラフ描画を行いたい場合には、以下のライブラリが役立ちます。

NumPy: 数値計算を効率的に行うためのライブラリです。

配列操作や数学関数が豊富に用意されています。

Matplotlib: グラフを描画するためのライブラリです。

関数の挙動を視覚的に確認する際に便利です。

基本的なアルゴリズムの流れ

2分法の基本的なアルゴリズムは以下の通りです。

初期区間 ([a, b]) を設定し、関数 ( f(x) ) の符号が異なることを確認します。
区間の中点 ( c = \frac{a + b}{2} ) を計算します。
中点での関数値 ( f(c) ) を評価します。
( f(c) = 0 ) であれば、( c ) が解です。
そうでなければ、( f(a) ) と ( f(c) ) の符号を比較し、解が存在する区間を ([a, c]) または ([c, b]) に更新します。
収束条件(例えば、区間の長さが十分に小さい、または反復回数が上限に達した)を満たすまで、手順2から5を繰り返します。

Pythonコードの例

以下に、Pythonで2分法を実装したサンプルコードを示します。

# 必要なライブラリのインポート
import numpy as np
# 2分法を用いて方程式の解を求める関数
def bisection_method(func, a, b, tol=1e-7, max_iter=100):
    # 初期条件の確認
    if func(a) * func(b) >= 0:
        raise ValueError("関数の符号が異なる区間を指定してください。")
    
    # 反復処理
    for _ in range(max_iter):
        c = (a + b) / 2  # 中点の計算
        if func(c) == 0 or (b - a) / 2 < tol:
            return c  # 解が見つかった場合
        elif func(a) * func(c) < 0:
            b = c  # 解が[a, c]に存在
        else:
            a = c  # 解が[c, b]に存在
    
    # 収束しなかった場合
    raise RuntimeError("収束しませんでした。")
# 使用例
def example_function(x):
    return x**3 - x - 2
root = bisection_method(example_function, 1, 2)
print(f"方程式の解は: {root}")