[C言語] 掃き出し法で逆行列を求める方法

2023-07-202024-08-25

掃き出し法は、行列の逆行列を求めるための数値計算手法の一つです。

C言語で掃き出し法を実装する際には、行列を2次元配列として表現し、ガウス・ジョルダン消去法を用いて単位行列に変換します。

この過程で、元の行列が単位行列に変換されると同時に、単位行列が逆行列に変換されます。

計算の過程で、行の交換やスケーリング、他の行からの減算を行うことで、行列の各要素を操作します。

この方法は、特に小規模な行列に対して有効です。

この記事でわかること

掃き出し法のアルゴリズムとそのステップ
C言語での掃き出し法の実装方法
逆行列の計算結果の検証方法
掃き出し法の応用例とその利点
計算誤差の扱い方と注意点

目次から探す

掃き出し法による逆行列の求め方

掃き出し法のアルゴリズム

掃き出し法は、行列の逆行列を求めるための数値計算手法の一つです。

この方法は、行列を拡大係数行列に変換し、行基本変形を用いて単位行列を作成することで逆行列を求めます。

以下に、掃き出し法の基本的なアルゴリズムを示します。

拡大係数行列の作成: 元の行列の右側に単位行列を付加して拡大係数行列を作成します。
前進消去: 行基本変形を用いて、拡大係数行列の左側を上三角行列に変換します。
後退代入: 上三角行列を単位行列に変換します。
逆行列の抽出: 拡大係数行列の右側が逆行列となります。

ステップ1: 拡大係数行列の作成

拡大係数行列は、元の行列の右側に同じサイズの単位行列を付加したものです。

これにより、行基本変形を行う際に、逆行列を同時に求めることが可能になります。

例として、3×3の行列 ( A ) の場合、拡大係数行列は以下のようになります。

ステップ2: 前進消去

前進消去では、行基本変形を用いて、拡大係数行列の左側を上三角行列に変換します。

具体的には、ピボット要素を1にし、それ以外の列の要素を0にします。

例として、行1を基準に行2と行3を変形する場合、以下のような操作を行います。

行2 = 行2 – (行2の第1列の要素 / 行1の第1列の要素) * 行1
行3 = 行3 – (行3の第1列の要素 / 行1の第1列の要素) * 行1

ステップ3: 後退代入

後退代入では、上三角行列を単位行列に変換します。

これにより、拡大係数行列の右側が逆行列になります。

具体的には、上から下に向かって行基本変形を行い、各行のピボット要素を1にし、それ以外の要素を0にします。

ステップ4: 逆行列の抽出

最後に、拡大係数行列の右側の部分が逆行列となります。

これを抽出することで、元の行列の逆行列を得ることができます。

例として、最終的な拡大係数行列が以下のようになった場合、

右側の行列

が逆行列です。

C言語での実装

必要なライブラリと準備

C言語で掃き出し法を実装するためには、標準入出力を扱うためのライブラリが必要です。

以下に、必要なライブラリと準備について説明します。

標準入出力ライブラリ: #include <stdio.h> を使用します。

これにより、コンソールからの入力と出力が可能になります。

定数の定義: 行列のサイズを定義するために、定数を使用します。

例：#define N 3 で3×3行列を扱う場合。

行列の入力と出力の実装

行列の入力と出力を行う関数を実装します。

これにより、ユーザーから行列を入力し、結果を表示することができます。

#include <stdio.h>
#define N 3 // 行列のサイズ
// 行列を入力する関数
void inputMatrix(double matrix[N][N]) {
    printf("行列を入力してください (%dx%d):\n", N, N);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            scanf("%lf", &matrix[i][j]);
        }
    }
}
// 行列を出力する関数
void printMatrix(double matrix[N][N]) {
    printf("行列:\n");
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            printf("%8.3f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

このコードでは、inputMatrix関数で行列を入力し、printMatrix関数で行列を出力します。

掃き出し法の実装

掃き出し法を用いて逆行列を求める関数を実装します。

ここでは、拡大係数行列を用いて行基本変形を行います。

#include <stdio.h>
#define N 3 // 行列のサイズ
// 掃き出し法による逆行列の計算
void gaussJordan(double matrix[N][N], double inverse[N][N]) {
    // 単位行列を作成
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            inverse[i][j] = (i == j) ? 1.0 : 0.0;
        }
    }
    // 前進消去と後退代入
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        double pivot = matrix[i][i];
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            matrix[i][j] /= pivot;
            inverse[i][j] /= pivot;
        }
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            if (k != i) {
                double factor = matrix[k][i];
                for (int j = 0; j < N; j++) {
                    matrix[k][j] -= factor * matrix[i][j];
                    inverse[k][j] -= factor * inverse[i][j];
                }
            }
        }
    }
}

この関数では、行列を単位行列に変換し、逆行列を求めます。

逆行列の検証

逆行列が正しく計算されたかを検証するために、元の行列と逆行列の積が単位行列になるかを確認します。

#include <stdio.h>
#define N 3 // 行列のサイズ
// 行列の積を計算して検証
void verifyInverse(double matrix[N][N], double inverse[N][N]) {
    double identity[N][N] = {0};
    // 行列の積を計算
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                identity[i][j] += matrix[i][k] * inverse[k][j];
            }
        }
    }
    // 結果を出力
    printf("元の行列と逆行列の積:\n");
    printMatrix(identity);
}

この関数では、元の行列と逆行列の積を計算し、単位行列に近いかどうかを確認します。

正しく計算されていれば、対角成分が1で、その他の成分が0に近い行列が得られます。