[C言語] 3×3の逆行列を作成する

2023-07-202024-08-25

C言語で3×3の逆行列を計算するには、まず行列の行列式を求める必要があります。行列式が0でない場合にのみ逆行列が存在します。

次に、各要素の余因子行列を計算し、それを転置して随伴行列を作成します。

最後に、随伴行列の各要素を行列式で割ることで逆行列を得ることができます。

これらの計算は手動で行うか、ループを使用して自動化することが可能です。

この記事でわかること

3×3の逆行列を求めるための数学的手順
C言語での逆行列計算の実装方法
逆行列の具体的な応用例
逆行列が存在しない場合の対処法
C言語での計算精度の問題とその解決策

目次から探す

3×3の逆行列を求める手順

3×3の逆行列を求めるには、いくつかの数学的な手順を踏む必要があります。

以下にその手順を詳しく説明します。

行列式を計算する

行列式は、行列が逆行列を持つかどうかを判断するための重要な値です。

3×3行列 ( A ) の行列式 ( \text{det}(A) ) は次のように計算されます。

ここで、行列 ( A ) は以下のように表されます。

行列式が0でない場合にのみ、逆行列が存在します。

余因子行列を求める

余因子行列は、各要素の余因子を計算して得られる行列です。

余因子は、ある要素を含まない小行列の行列式に、その要素の位置に応じた符号を掛けたものです。

例えば、要素 ( a_{11} ) の余因子は次のように計算されます。

このようにして、すべての要素の余因子を計算し、余因子行列を構成します。

余因子行列の転置(随伴行列)

余因子行列を転置することで、随伴行列を得ます。

随伴行列は、逆行列を求める際に使用されます。

転置とは、行と列を入れ替える操作です。

例えば、余因子行列が次のようであれば、

その転置行列は、

となります。

逆行列の計算

逆行列 ( A^{-1} ) は、行列式が0でない場合に次の式で計算されます。

ここで、( C^T ) は余因子行列の転置です。

この計算により、元の行列を掛けると単位行列になる逆行列が得られます。

C言語での実装

3×3の逆行列をC言語で実装するためには、いくつかのステップを踏む必要があります。

以下に、必要なライブラリや関数の実装方法を詳しく説明します。

必要なライブラリと準備

C言語で行列の計算を行うためには、標準ライブラリを使用します。

特に、stdio.hを使用して入出力を行います。

#include <stdio.h>

このライブラリをインクルードすることで、printfやscanfを使用して行列の入力と出力が可能になります。

行列の入力と出力

行列の入力と出力は、ユーザーからのデータを受け取り、結果を表示するために必要です。

以下に、3×3行列の入力と出力の例を示します。

void inputMatrix(float matrix[3][3]) {
    printf("行列の要素を入力してください (3x3):\n");
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            scanf("%f", &matrix[i][j]);
        }
    }
}
void printMatrix(float matrix[3][3]) {
    printf("行列:\n");
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            printf("%f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

行列式の計算関数

行列式を計算する関数は、逆行列を求めるための重要なステップです。

以下に、3×3行列の行列式を計算する関数を示します。

float determinant(float matrix[3][3]) {
    return matrix[0][0] * (matrix[1][1] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][1])
         - matrix[0][1] * (matrix[1][0] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][0])
         + matrix[0][2] * (matrix[1][0] * matrix[2][1] - matrix[1][1] * matrix[2][0]);
}

余因子行列の計算関数

余因子行列を計算する関数は、各要素の余因子を求めるために使用されます。

以下にその例を示します。

void cofactorMatrix(float matrix[3][3], float cofactor[3][3]) {
    cofactor[0][0] =  (matrix[1][1] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][1]);
    cofactor[0][1] = -(matrix[1][0] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][0]);
    cofactor[0][2] =  (matrix[1][0] * matrix[2][1] - matrix[1][1] * matrix[2][0]);
    cofactor[1][0] = -(matrix[0][1] * matrix[2][2] - matrix[0][2] * matrix[2][1]);
    cofactor[1][1] =  (matrix[0][0] * matrix[2][2] - matrix[0][2] * matrix[2][0]);
    cofactor[1][2] = -(matrix[0][0] * matrix[2][1] - matrix[0][1] * matrix[2][0]);
    cofactor[2][0] =  (matrix[0][1] * matrix[1][2] - matrix[0][2] * matrix[1][1]);
    cofactor[2][1] = -(matrix[0][0] * matrix[1][2] - matrix[0][2] * matrix[1][0]);
    cofactor[2][2] =  (matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0]);
}

逆行列の計算関数

逆行列を計算する関数は、行列式と余因子行列を用いて逆行列を求めます。

以下にその例を示します。

void inverseMatrix(float matrix[3][3], float inverse[3][3]) {
    float det = determinant(matrix);
    if (det == 0) {
        printf("逆行列は存在しません。\n");
        return;
    }
    float cofactor[3][3];
    cofactorMatrix(matrix, cofactor);
    // 随伴行列を計算し、逆行列を求める
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            inverse[i][j] = cofactor[j][i] / det;
        }
    }
}

結果の表示

計算された逆行列を表示するための関数を用意します。

以下にその例を示します。

void printInverseMatrix(float inverse[3][3]) {
    printf("逆行列:\n");
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            printf("%f ", inverse[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

これらの関数を組み合わせることで、3×3の逆行列をC言語で計算し、表示することができます。