[C言語] はさみうち法(非線形方程式)を実装する方法

はさみうち法(または二分法)は、非線形方程式の解を数値的に求める手法です。

C言語で実装する際の基本的な流れは次の通りです。

まず、解を含む区間 \([a, b]\) を設定し、関数 \(f(x)\) の符号が \(f(a)\) と \(f(b)\) で異なることを確認します。

次に、区間の中点 \(c = \frac{a + b}{2}\) を計算し、\(f(c)\) の符号に基づいて区間を更新します。

この操作を収束条件(例えば、区間の幅が十分小さくなる、または \(f(c)\) が十分小さくなる)まで繰り返します。

はさみうち法とは

はさみうち法(バイセクション法)は、非線形方程式の解を求めるための数値解析手法の一つです。

この手法は、与えられた区間内で関数の符号が異なる2点を見つけ、その中点を計算することで解を絞り込んでいきます。

収束条件を満たすまでこのプロセスを繰り返すことで、解に近づいていきます。

はさみうち法は、単純で実装が容易であり、特に連続関数に対して有効です。

解の存在が保証されている場合に適用できるため、数値解析の基本的な手法として広く利用されています。

はさみうち法のアルゴリズム

区間の初期設定

はさみうち法を適用するためには、まず解を含む区間を設定する必要があります。

この区間は、関数の値が異なる2点 \(a\) と \(b\) で構成されます。

すなわち、次の条件を満たす必要があります。

• \(f(a) \cdot f(b) < 0\) (関数の符号が異なること)

中点の計算方法

次に、初期区間の中点 \(c\) を計算します。

中点は次の式で求められます。

\[c = \frac{a + b}{2}\]

この中点は、次のステップで区間を更新するための基準となります。

区間の更新方法

中点 \(c\) を計算した後、関数の値 \(f(c)\) を評価します。

次の条件に基づいて区間を更新します。

• \(f(c) = 0\) の場合、解が見つかったことになります。
• \(f(a) \cdot f(c) < 0\) の場合、解は区間 \([a, c]\) に存在します。

このため、次の区間は \([a, c]\) となります。

• \(f(c) \cdot f(b) < 0\) の場合、解は区間 \([c, b]\) に存在します。

このため、次の区間は \([c, b]\) となります。

収束条件の設定

はさみうち法では、解が収束する条件を設定する必要があります。

一般的には、次のいずれかの条件を使用します。

• 中点の誤差が所定の閾値 \(\epsilon\) より小さくなること。
• 最大反復回数に達すること。

アルゴリズムの流れ

はさみうち法のアルゴリズムは、以下の流れで実行されます。

1. 初期区間 \([a, b]\) を設定する。
2. 中点 \(c\) を計算する。
3. 関数の値 \(f(c)\) を評価する。
4. 収束条件を確認する。

• 収束していない場合、区間を更新し、再度中点を計算する。

5. 収束した場合、解を出力する。

このプロセスを繰り返すことで、非線形方程式の解に近づいていきます。

C言語での実装手順

必要なライブラリと関数

C言語ではさみうち法を実装するためには、標準入出力ライブラリを使用します。

以下のライブラリをインクルードします。

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 数学関数を使用するため

関数の定義

はさみうち法を実装するために、まず解きたい非線形方程式を定義する関数を作成します。

例えば、方程式 \(f(x) = x^2 – 4\) の場合、次のように定義します。

double f(double x) {
    return x * x - 4; // f(x) = x^2 - 4
}

初期区間の設定

次に、解を含む初期区間を設定します。

例えば、区間 \([0, 3]\) を設定する場合、以下のようにします。

double a = 0.0; // 初期区間の下限
double b = 3.0; // 初期区間の上限

中点の計算と区間の更新

中点を計算し、関数の値に基づいて区間を更新する処理を実装します。

中点の計算は次のように行います。

double c; // 中点
c = (a + b) / 2.0; // 中点の計算

収束条件の実装

収束条件を設定し、収束するまでループを繰り返します。

例えば、誤差が0.001未満になるまで繰り返す場合、次のようにします。

while (fabs(f(c)) >= 0.001) { // 収束条件
    if (f(a) * f(c) < 0) {
        b = c; // 上限を更新
    } else {
        a = c; // 下限を更新
    }
    c = (a + b) / 2.0; // 新しい中点の計算
}

結果の出力

収束した後、解を出力します。

以下のように実装します。

printf("解は: %lf\n", c); // 解の出力

完成したサンプルコード

以下に、はさみうち法を用いた非線形方程式の解法の完成したサンプルコードを示します。

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 数学関数を使用するため
// 非線形方程式の定義
double f(double x) {
    return x * x - 4; // f(x) = x^2 - 4
}
int main() {
    double a = 0.0; // 初期区間の下限
    double b = 3.0; // 初期区間の上限
    double c; // 中点
    // はさみうち法の実装
    while (1) {
        c = (a + b) / 2.0; // 中点の計算
        if (fabs(f(c)) < 0.001) { // 収束条件
            break; // 収束したらループを抜ける
        }
        if (f(a) * f(c) < 0) {
            b = c; // 上限を更新
        } else {
            a = c; // 下限を更新
        }
    }
    // 結果の出力
    printf("解は: %lf\n", c); // 解の出力
    return 0; // プログラムの終了
}

このコードを実行すると、非線形方程式 \(f(x) = x^2 – 4\) の解が出力されます。

実装例

具体的な関数の例

ここでは、はさみうち法を用いて非線形方程式 \(f(x) = \cos(x) – x\) の解を求める例を示します。

この方程式は、\(x\) の値が \(0\) と \(1\) の間に解を持つことが知られています。

関数は次のように定義します。

double f(double x) {
    return cos(x) - x; // f(x) = cos(x) - x
}

実装コードの解説

以下に、はさみうち法を用いた実装コードを示します。

このコードでは、初期区間を \([0, 1]\) に設定し、収束条件を誤差が \(0.001\) 未満になるまで繰り返します。

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 数学関数を使用するため
// 非線形方程式の定義
double f(double x) {
    return cos(x) - x; // f(x) = cos(x) - x
}
int main() {
    double a = 0.0; // 初期区間の下限
    double b = 1.0; // 初期区間の上限
    double c; // 中点
    // はさみうち法の実装
    while (1) {
        c = (a + b) / 2.0; // 中点の計算
        if (fabs(f(c)) < 0.001) { // 収束条件
            break; // 収束したらループを抜ける
        }
        if (f(a) * f(c) < 0) {
            b = c; // 上限を更新
        } else {
            a = c; // 下限を更新
        }
    }
    // 結果の出力
    printf("解は: %lf\n", c); // 解の出力
    return 0; // プログラムの終了
}

このコードでは、関数 \(f(x)\) を定義し、はさみうち法を用いて解を求めています。

収束条件を満たすまでループを繰り返し、最終的に解を出力します。

実行結果の確認

上記のコードをコンパイルして実行すると、次のような出力が得られます。

解は: 0.739085

この結果は、方程式 \(f(x) = \cos(x) – x\) の解の近似値であり、実際の解に非常に近い値です。

エラー処理の追加

実装にエラー処理を追加することで、より堅牢なプログラムにすることができます。

例えば、初期区間の設定が不適切な場合や、収束しない場合にエラーメッセージを表示するようにします。

以下にエラー処理を追加したコードを示します。

#include <stdio.h>
#include <math.h> // 数学関数を使用するため
// 非線形方程式の定義
double f(double x) {
    return cos(x) - x; // f(x) = cos(x) - x
}
int main() {
    double a = 0.0; // 初期区間の下限
    double b = 1.0; // 初期区間の上限
    double c; // 中点
    // 初期区間のチェック
    if (f(a) * f(b) >= 0) {
        printf("エラー: 初期区間が不適切です。\n");
        return 1; // エラーコードを返す
    }
    // はさみうち法の実装
    while (1) {
        c = (a + b) / 2.0; // 中点の計算
        if (fabs(f(c)) < 0.001) { // 収束条件
            break; // 収束したらループを抜ける
        }
        if (f(a) * f(c) < 0) {
            b = c; // 上限を更新
        } else {
            a = c; // 下限を更新
        }
    }
    // 結果の出力
    printf("解は: %lf\n", c); // 解の出力
    return 0; // プログラムの終了
}

このように、初期区間が不適切な場合にはエラーメッセージを表示し、プログラムを終了するようにしています。

これにより、ユーザーが誤った入力をした場合でも、適切に対処できるようになります。

応用例

複数の解を持つ方程式への適用

はさみうち法は、複数の解を持つ非線形方程式にも適用できます。

例えば、方程式 \(f(x) = \sin(x) – \frac{x}{2}\) は、区間 \([0, 2\pi]\) において複数の解を持ちます。

この場合、異なる初期区間を設定することで、それぞれの解を求めることができます。

各区間での符号の変化を確認し、はさみうち法を適用することで、すべての解を見つけることが可能です。

精度を高めるための工夫

はさみうち法の精度を高めるためには、収束条件を厳しく設定することが有効です。

例えば、誤差の閾値を \(0.001\) から \(0.0001\) に変更することで、より高精度な解を得ることができます。

また、反復回数の上限を設定し、収束しない場合にはエラーメッセージを表示することで、無限ループを防ぐことも重要です。

さらに、初期区間を適切に選定することで、収束速度を向上させることができます。

他の数値解法との組み合わせ

はさみうち法は、他の数値解法と組み合わせて使用することもできます。

例えば、ニュートン法や割線法と併用することで、初期区間を狭めた後により高速に解を求めることが可能です。

最初にはさみうち法で解の範囲を特定し、その後ニュートン法を適用することで、収束速度を向上させることができます。

このように、異なる手法の特性を活かすことで、より効率的な解法を実現できます。

非線形方程式以外への応用

はさみうち法は、非線形方程式以外の問題にも応用可能です。

例えば、最適化問題において、目的関数の最小値や最大値を求める際に、関数の符号が変わる区間を見つけるために使用できます。

また、物理学や工学の分野では、特定の条件を満たすパラメータを求める際にも利用されます。

さらに、データ解析や機械学習の分野でも、特定の条件を満たすモデルのパラメータを探索するために、はさみうち法を応用することができます。

よくある質問

まとめ

この記事では、はさみうち法の基本的な概念から実装手順、応用例まで幅広く解説しました。

特に、非線形方程式の解を求めるための具体的なアルゴリズムやC言語での実装方法について詳しく説明し、実際のコード例を通じて理解を深めることができました。

今後、はさみうち法を活用して、さまざまな非線形方程式の解法に挑戦してみてください。