[Python] NumPy – 単位行列を作成する方法

NumPyで単位行列を作成するには、numpy.eye()またはnumpy.identity()を使用します。

numpy.eye(N)は、対角成分が1で、それ以外が0の\(N \times N\)の行列を返します。

numpy.identity(N)も同様に\(N \times N\)の単位行列を返しますが、eye()はオフセットを指定して対角線をずらすことができる点が異なります。

NumPyで単位行列を作成する基本的な方法

NumPyとは

NumPyは、Pythonで数値計算を行うためのライブラリで、特に多次元配列(ndarray)を扱うための機能が充実しています。

科学技術計算やデータ分析において、効率的な計算を可能にするための多くの関数やツールが提供されています。

NumPyを使用することで、行列演算や線形代数の計算が簡単に行えます。

単位行列とは

単位行列は、対角成分がすべて1で、その他の成分が0である正方行列です。

単位行列は、行列の乗法において「乗算の単位」として機能します。

つまり、任意の行列Aに対して、次のような性質があります。

\[A \cdot I = I \cdot A = A\]

ここで、\(I\)は単位行列を表します。

numpy.eye()を使った単位行列の作成

numpy.eye()関数を使用すると、指定したサイズの単位行列を簡単に作成できます。

以下はその基本的な使い方です。

import numpy as np
# 3x3の単位行列を作成
unit_matrix = np.eye(3)
print(unit_matrix)

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

numpy.identity()を使った単位行列の作成

numpy.identity()関数も単位行列を作成するために使用されます。

こちらも非常にシンプルです。

import numpy as np
# 4x4の単位行列を作成
unit_matrix = np.identity(4)
print(unit_matrix)

[[1. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]]

numpy.eye()とnumpy.identity()の違い

numpy.eye()とnumpy.identity()は、どちらも単位行列を作成するための関数ですが、いくつかの違いがあります。

このように、用途に応じて使い分けることができます。

numpy.eye()の詳細な使い方

numpy.eye()の基本的な構文

numpy.eye()関数は、単位行列を作成するための基本的な構文は以下の通りです。

numpy.eye(N, M=None, k=0, dtype=float)

• N: 行数
• M: 列数(省略した場合、Nと同じ値になります)
• k: 対角線のオフセット(デフォルトは0)
• dtype: データ型(デフォルトはfloat)

行列のサイズを指定する方法

numpy.eye()を使用して、任意のサイズの単位行列を作成することができます。

以下は、5×5の単位行列を作成する例です。

import numpy as np
# 5x5の単位行列を作成
unit_matrix = np.eye(5)
print(unit_matrix)

[[1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]]

対角線のオフセットを指定する方法

kパラメータを使用することで、対角線のオフセットを指定できます。

例えば、上の対角線に1を配置する場合は、次のようにします。

import numpy as np
# 上の対角線に1を配置した4x4の行列を作成
unit_matrix = np.eye(4, k=1)
print(unit_matrix)

[[0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0.]]

2次元以外の行列を作成する場合

numpy.eye()は、2次元の単位行列だけでなく、3次元以上の配列も作成できます。

以下は、3次元の単位行列を作成する例です。

import numpy as np
# 3次元の単位行列を作成
unit_matrix = np.eye(3, 3, dtype=int)
print(unit_matrix)

[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

dtypeを指定してデータ型を変更する方法

dtypeパラメータを使用することで、作成する単位行列のデータ型を変更できます。

例えば、整数型の単位行列を作成する場合は、次のようにします。

import numpy as np
# 整数型の3x3の単位行列を作成
unit_matrix = np.eye(3, dtype=int)
print(unit_matrix)

[[1 0 0]
 [0 1 0]
 [0 0 1]]

このように、numpy.eye()を使うことで、さまざまな条件に応じた単位行列を簡単に作成することができます。

numpy.identity()の詳細な使い方

numpy.identity()の基本的な構文

numpy.identity()関数は、単位行列を作成するための基本的な構文は以下の通りです。

numpy.identity(n, dtype=None)

• n: 行列のサイズ(行数と列数は同じ)
• dtype: データ型(省略した場合はfloat)

行列のサイズを指定する方法

numpy.identity()を使用して、任意のサイズの単位行列を作成することができます。

以下は、3×3の単位行列を作成する例です。

import numpy as np
# 3x3の単位行列を作成
unit_matrix = np.identity(3)
print(unit_matrix)

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

dtypeを指定してデータ型を変更する方法

dtypeパラメータを使用することで、作成する単位行列のデータ型を変更できます。

例えば、整数型の単位行列を作成する場合は、次のようにします。

import numpy as np
# 整数型の4x4の単位行列を作成
unit_matrix = np.identity(4, dtype=int)
print(unit_matrix)

[[1 0 0 0]
 [0 1 0 0]
 [0 0 1 0]
 [0 0 0 1]]

numpy.identity()の制約と注意点

numpy.identity()にはいくつかの制約があります。

• 正方行列のみ: numpy.identity()は正方行列(行数と列数が同じ)しか作成できません。

非正方行列を作成することはできません。

• オフセットの指定不可: 対角線のオフセットを指定することはできません。

常に主対角線に1が配置されます。

これらの制約を理解しておくことで、numpy.identity()を適切に使用することができます。

単位行列の応用例

行列の逆行列を求める際の利用

単位行列は、行列の逆行列を求める際に重要な役割を果たします。

行列 \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) が存在する場合、次の関係が成り立ちます。

\[A \cdot A^{-1} = I\]

ここで、\(I\) は単位行列です。

この性質を利用して、行列の逆行列を計算する際に単位行列が基準として使われます。

行列の積における単位行列の役割

単位行列は、行列の積において「乗算の単位」として機能します。

任意の行列 \(A\) に対して、次のような性質があります。

\[A \cdot I = I \cdot A = A\]

この性質により、行列の計算において単位行列を挿入しても結果が変わらないため、計算の簡略化や確認に役立ちます。

線形代数における単位行列の使用例

線形代数では、単位行列は多くの理論や手法において基本的な役割を果たします。

例えば、線形方程式の解法や固有値問題において、単位行列は重要な要素として登場します。

特に、固有値分解や特異値分解において、単位行列は基底の変換に利用されます。

機械学習における単位行列の利用

機械学習のアルゴリズム、特に線形回帰や主成分分析(PCA)などでは、単位行列が重要な役割を果たします。

例えば、正則化手法の一つであるリッジ回帰では、単位行列を用いて重みの調整を行います。

これにより、過学習を防ぎ、モデルの汎化能力を向上させることができます。

グラフ理論における単位行列の応用

グラフ理論においても、単位行列は重要な役割を果たします。

隣接行列やラプラシアン行列の計算において、単位行列はグラフの特性を表現するために使用されます。

特に、グラフの連結性や特性を分析する際に、単位行列は基準として利用されることがあります。

よくある質問

import numpy as np
# 3x3の単位行列を作成
unit_matrix = np.identity(3)
# 要素を変更
unit_matrix[0, 0] = 5
print(unit_matrix)

[[5. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

まとめ

この記事では、NumPyを使用して単位行列を作成する方法やその応用例について詳しく解説しました。

特に、numpy.eye()とnumpy.identity()の使い方や、それぞれの特徴、さらには単位行列が行列の逆行列や線形代数、機械学習、グラフ理論においてどのように役立つかを紹介しました。

これらの知識を活用して、実際のプログラミングやデータ分析において、より効果的にNumPyを利用してみてください。