【C++】Boostライブラリで扱うコーシー分布の基礎と実装

2025-04-19更新日: 2025-04-19

Boostのcauchy_distributionは位置母数と尺度母数を指定してコーシー分布の確率密度関数(PDF)や累積分布関数(CDF)を計算できるクラスです。

<boost/math/distributions/cauchy.hpp>を読み込み、boost::math::cauchy_distribution<double> dist(a,b)を生成した後、pdf(dist, x)やcdf(dist, x)で値を取得できます。

目次から探す

コーシー分布の主要特性
Boost.Mathでのコーシー分布利用
Boost.Randomでのコーシー乱数生成
応用例
性能と注意事項
まとめ

コーシー分布の主要特性

コーシー分布は、確率論や統計学において重要な役割を果たす連続確率分布の一つです。

特に、外れ値に対して頑健な性質を持つため、実務や理論の両面で広く利用されています。

ここでは、コーシー分布の基本的な性質とその特徴について詳しく解説します。

確率密度関数 $P D F$

コーシー分布の確率密度関数(Probability Density Function、略してPDF)は、次のように定義されます。

$p (x ∣ a, b) = \frac{1}{π b (1 + {(\frac{x - a}{b})}^{2})}$

この式において、

$a$ は位置母数(中央値や最頻値に相当)
$b$ は尺度母数(分散の尺度、半値半幅とも呼ばれる)

となっています。

この関数の特徴は、 $x$ が $a$ に近い値をとるときに確率密度が高くなる一方で、遠く離れた値に対してもゆるやかに減少し続ける点です。

具体的には、 $x$ が $a$ から離れるほど確率密度は $1 / x^{2}$ のオーダーで減少します。

また、分布のピークは $x = a$ にあり、そこが最頻値となります。

尺度母数 $b$ は、分布の広がりを調整し、大きくなるほど分布は広がります。

累積分布関数 $C D F$

コーシー分布の累積分布関数(Cumulative Distribution Function、略してCDF)は、次のように表されます。

$F (x ∣ a, b) = \frac{1}{π} \arctan (\frac{x - a}{b}) + \frac{1}{2}$

この関数は、 $x$ が-\∞から+\∞まで変化するにつれて0から1へと変化します。

具体的には、

$x \to - \infty$ のとき、 $F (x) \to 0$
$x \to + \infty$ のとき、 $F (x) \to 1$

となります。

この関数の形状は、アークタンジェント関数に比例しており、中心付近では急激に変化しますが、遠く離れた値ではゆるやかに変化します。

これにより、外れ値に対して頑健な性質を持つ分布の特徴が反映されています。

パラメータの意味(位置母数と尺度母数)

コーシー分布は、2つのパラメータによって完全に定義されます。

パラメータ	説明	例・備考
$a$	位置母数	分布の中央値や最頻値を示します。分布の中心位置を調整します。	例： $a = 0$ なら、分布は原点を中心に対称となります。
$b$	尺度母数	分布の広がりを示す尺度。半値半幅とも呼ばれ、値が大きいほど分布は広がります。	例： $b = 1$ は標準的なコーシー分布。

これらのパラメータは、分布の形状や位置を調整するために重要です。

特に、 $a$ は分布の位置を変えるだけでなく、中央値や最頻値としても解釈されます。

一方、 $b$ は分布の「厚み」や「広がり」を制御します。

主な特徴と活用シーン

コーシー分布の主な特徴と、その活用シーンについて整理します。

外れ値に対して頑健：平均や分散が定義されないため、外れ値の影響を受けにくい。これにより、外れ値が多いデータのモデル化に適しています
重い尾を持つ：確率密度の尾が重いため、極端な値が出やすい状況に適しています
中央値が存在し、平均は存在しない：中央値は $a$ に一致し、分布の中心を示しますが、平均は定義されません
パラメータの調整が容易：位置と尺度の2つのパラメータで分布の形状を柔軟に変えられます

活用シーンの例

外れ値の多いデータのモデル化：金融データやセンサーの異常値検出など
ロバストな統計推定：平均や分散に依存しない推定方法の構築
ベイズ推定における事前分布：パラメータの事前分布として利用されることもあります
物理や工学のシミュレーション：特定のノイズや誤差のモデル化

コーシー分布は、その特殊な性質から、標準的な正規分布では対応できない状況においても有効なツールとなります。

次のセクションでは、C++の標準ライブラリやBoostライブラリを用いた具体的な実装例について解説します。

Boost.Mathでのコーシー分布利用

Boost.Mathライブラリは、多くの確率分布を扱うための豊富な機能を提供しています。

コーシー分布もその一つであり、boost::math::cauchy_distributionクラスを用いることで、簡単に分布の生成や計算を行うことが可能です。

以下に、その具体的な使い方について詳しく解説します。

<boost/math/distributions/cauchy.hpp>の読み込み

まず、Boostライブラリのコーシー分布を利用するためには、対応するヘッダファイルをインクルードします。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>

このヘッダには、boost::math::cauchy_distributionクラスの定義や、そのメンバ関数が含まれています。

Boostライブラリを使用するには、事前にBoostのインストールと設定が必要です。

分布オブジェクトの生成

boost::math::cauchy_distributionは、コンストラクタにパラメータを渡すことで分布のインスタンスを生成します。

以下に、基本的な生成方法とパラメータの指定例を示します。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>
#include <iostream>
int main() {
    // 位置母数a=0.0、尺度母数b=1.0のコーシー分布を生成
    boost::math::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);
    // パラメータの出力
    std::cout << "位置母数 a = " << dist.location() << std::endl;
    std::cout << "尺度母数 b = " << dist.scale() << std::endl;
    return 0;
}

位置母数 a = 0
尺度母数 b = 1

コンストラクタ引数の指定方法

boost::math::cauchy_distributionのコンストラクタは、以下のようにパラメータを渡します。

cauchy_distribution<>::cauchy_distribution(double a, double b);

a：位置母数(中央値や最頻値)
b：尺度母数(半値半幅)

これにより、任意の位置と広がりを持つコーシー分布を作成できます。

デフォルトパラメータの概要

boost::math::cauchy_distributionには、デフォルトのコンストラクタも用意されています。

boost::math::cauchy_distribution<> dist;

この場合、デフォルトのパラメータは

位置母数 $a = 0.0$
尺度母数 $b = 1.0$

となっています。

これにより、標準的なコーシー分布を簡単に生成可能です。

PDF/CDF/逆累積分布関数の計算

boost::math::cauchy_distributionのインスタンスを用いると、確率密度関数(PDF)、累積分布関数(CDF)、逆累積分布関数(クォンタイル)を簡単に計算できます。

pdf(dist, x)による確率密度計算

pdf関数は、与えられた点xにおける確率密度を計算します。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>
#include <iostream>
int main() {
    boost::math::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);
    double x = 0.5; // 計算したい点
    double density = boost::math::pdf(dist, x);
    std::cout << "x = " << x << "における確率密度 = " << density << std::endl;
    return 0;
}

この例では、位置母数0、尺度母数1のコーシー分布において、 $x = 0.5$ の確率密度を計算しています。

cdf(dist, x)による累積確率計算

cdf関数は、点xまでの累積確率を返します。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>
#include <iostream>
int main() {
    boost::math::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);
    double x = 0.5; // 計算したい点
    double cumulative = boost::math::cdf(dist, x);
    std::cout << "x = " << x << "までの累積確率 = " << cumulative << std::endl;
    return 0;
}

x = 0.5までの累積確率 = 0.647584

この例では、 $x = 0.5$ までの確率を計算しています。

quantile(dist, p)による分位点取得

quantile関数は、確率pに対応する分位点(逆累積分布関数の値)を返します。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>
#include <iostream>
int main() {
    boost::math::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);
    double p = 0.95; // 95%点
    double q = boost::math::quantile(dist, p);
    std::cout << "確率 " << p << " に対応する分位点 = " << q << std::endl;
    return 0;
}

確率 0.95 に対応する分位点 = 6.31375

この例では、95%信頼区間の上限値を計算しています。

パラメータ値の取得と変更方法

boost::math::cauchy_distributionのインスタンスから、現在設定されているパラメータ値を取得したり、変更したりすることも可能です。

#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>
#include <iostream>
int main() {
    boost::math::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);
    // パラメータの取得
    double a = dist.location();
    double b = dist.scale();
    std::cout << "現在の位置母数 a = " << a << std::endl;
    std::cout << "現在の尺度母数 b = " << b << std::endl;
    // パラメータの変更は、新たにインスタンスを作成する必要があります
    boost::math::cauchy_distribution<> new_dist(2.0, 3.0);
    std::cout << "新しい位置母数 a = " << new_dist.location() << std::endl;
    std::cout << "新しい尺度母数 b = " << new_dist.scale() << std::endl;
    return 0;
}

現在の位置母数 a = 0
現在の尺度母数 b = 1
新しい位置母数 a = 2
新しい尺度母数 b = 3

location()とscale()メンバ関数を用いて、現在のパラメータ値を取得できます。

パラメータの変更は、新たにcauchy_distributionのインスタンスを作成し直す必要があります。

これらの機能を組み合わせることで、Boost.Mathを用いたコーシー分布の計算やシミュレーションが容易に行えます。

次のセクションでは、乱数生成について詳しく解説します。

Boost.Randomでのコーシー乱数生成

Boost.Randomライブラリは、多様な確率分布に基づく乱数を生成するための強力なツールセットを提供しています。

コーシー分布に従う乱数も、その一つとして簡単に生成可能です。

以下に、その具体的な手順とサンプルコード例を示します。

必要なヘッダと名前空間

コーシー乱数を生成するためには、boost/random.hppまたはboost/random/cauchy_distribution.hppをインクルードします。

さらに、乱数エンジンとしてstd::random_deviceやboost::random::mt19937などを使用します。

#include <boost/random.hpp>
#include <iostream>

また、名前空間の指定を行うとコードがすっきりします。

using namespace boost::random;

乱数エンジンとの連携

乱数生成には、まず乱数エンジンを準備します。

std::random_deviceは、ハードウェア由来の真の乱数を取得できるため、シード値として利用するのに適しています。

std::random_deviceとエンジンの準備

#include <random> // 標準ライブラリの乱数デバイス
// 乱数シードの生成
std::random_device rd;
// 乱数エンジンの初期化
boost::mt19937 engine(rd());

このエンジンは、boost::random::mt19937を用いていますが、std::mt19937や他のエンジンも利用可能です。

boost::random::cauchy_distributionオブジェクト生成

次に、コーシー分布に従う乱数を生成するための分布オブジェクトを作成します。

// 位置母数a=0.0、尺度母数b=1.0のコーシー分布
boost::random::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);

このdistオブジェクトは、エンジンと連携して乱数を生成します。

サンプルコード構成例

以下に、コーシー分布に従う乱数を複数生成し、出力するサンプルコードを示します。

#include <iostream>
#include <random>                // std::random_device のためのヘッダ
#include <boost/random.hpp>      // Boost.Random の各種機能

int main() {
    // 乱数シードを生成
    std::random_device rd;
    // メルセンヌ・ツイスタエンジンを初期化
    boost::mt19937 engine(rd());
    // 位置母数 a=0.0、尺度母数 b=1.0 のコーシー分布
    boost::random::cauchy_distribution<> dist(0.0, 1.0);

    // 乱数を10個生成して出力
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        double sample = dist(engine);
        std::cout << "乱数 " << (i + 1) << " = " << sample << std::endl;
    }
    return 0;
}

このコードでは、dist(engine)の呼び出しによって、コーシー分布に従う乱数が生成されます。

生成結果の確認方法

生成した乱数の値は、標準出力に出力されます。

実行結果例は以下の通りです。

乱数 1 = 2.45254
乱数 2 = 0.356406
乱数 3 = -1.17827
乱数 4 = 11.2812
乱数 5 = -0.0417043
乱数 6 = 0.363576
乱数 7 = -36.9307
乱数 8 = -3.41999
乱数 9 = 0.0176615
乱数 10 = 1.94603

実行ごとに値は変動しますが、中心付近に多くの値が集中しつつも、極端に大きな値や小さな値も頻繁に出現することが確認できます。

このように、Boost.Randomを用いると、コーシー分布に従う乱数の生成が非常に簡単に行えます。

次のセクションでは、実用的な応用例や、乱数の分布の性質についても解説します。

応用例

コーシー分布は、その特性を活かしてさまざまな実務や理論的な応用に利用されています。

以下に、代表的な応用例を具体的に解説します。

外れ値シミュレーションへの活用

コーシー分布は、重い尾を持つため、外れ値や極端な値が頻繁に出現する状況のモデル化に適しています。

例えば、金融市場のリターンやセンサーの異常値検出などにおいて、外れ値の発生確率をシミュレーションする際に利用されます。

具体的には、コーシー分布に従う乱数を大量に生成し、その値の分布を観察することで、外れ値の出現頻度やパターンを把握できます。

これにより、外れ値に対して頑健な統計手法の設計や、異常検知の閾値設定に役立てることが可能です。

ベイズ推定における事前分布設定

ベイズ統計では、パラメータの事前分布としてコーシー分布を採用するケースがあります。

特に、パラメータの値が極端に大きくなる可能性を考慮したい場合や、事前情報があまり明確でない場合に有効です。

例えば、回帰分析において、回帰係数の事前分布としてコーシー分布を設定すると、外れ値に対して頑健な推定が可能となります。

これは、コーシー分布の重い尾が、極端な値を許容しつつも、中心付近の値を重視する性質によるものです。

MCMCアルゴリズムの提案分布としての利用

マルコフ連鎖モンテカルロ(MCMC)法において、提案分布(proposal distribution)はサンプルの効率的な生成に重要な役割を果たします。

コーシー分布は、その重い尾と中心付近の集中性から、特定の問題において提案分布として有効です。

例えば、ターゲット分布が重い尾を持つ場合、コーシー分布を提案分布として用いることで、サンプルの探索範囲を広げつつ、効率的なサンプリングが可能となります。

これにより、収束速度の向上や、局所的な最適解への偏りを防ぐ効果が期待できます。

分布の可視化(ヒストグラム作成)

コーシー分布の性質を理解するためには、実際に乱数を生成し、その分布を可視化することが有効です。

ヒストグラムを作成することで、分布の重い尾や中心付近の集中性を直感的に把握できます。

具体的には、Boost.RandomやBoost.Mathを用いて大量のコーシー乱数を生成し、MatplotlibやExcelなどのツールを使ってヒストグラムを作成します。

これにより、分布の形状や尾の重さ、外れ値の頻度などを視覚的に確認でき、理論的な理解やモデルの妥当性検証に役立ちます。

これらの応用例は、コーシー分布の特性を最大限に活かすための一例です。

次のセクションでは、これらの応用を具体的なコード例とともに詳しく解説します。

性能と注意事項

コーシー分布の確率計算や乱数生成を行う際には、いくつかの性能面や注意点を理解しておく必要があります。

特に、大規模なデータ処理や並列処理を行う場合には、これらのポイントを押さえることで、より効率的かつ安全に実装できます。

計算精度とオーバーフロー回避

コーシー分布の確率密度関数や累積分布関数の計算においては、数値的な安定性が重要です。

特に、極端に大きな値や非常に小さな値を扱う場合、浮動小数点演算の誤差やオーバーフローのリスクが高まります。

確率密度関数の計算：

$p (x ∣ a, b) = \frac{1}{π b (1 + {(\frac{x - a}{b})}^{2})}$

では、 ${(\frac{x - a}{b})}^{2}$ が非常に大きくなると、計算誤差やオーバーフローの可能性があります。

これを避けるために、対数を取った計算や、数値的に安定なライブラリ関数を利用します。

累積分布関数の計算：

アークタンジェント関数の計算も、引数が極端に大きい場合には誤差が生じやすいため、Boost.Mathの関数は高い精度を持っていますが、必要に応じて誤差範囲を考慮した実装を行います。

オーバーフロー回避策：

例えば、非常に大きな値に対しては、計算の途中で対数変換や、閾値を設けて処理を分岐させる工夫が必要です。

std::cauchy_distributionとの性能比較

標準ライブラリのstd::cauchy_distributionは、シンプルなインターフェースと十分な性能を持ちますが、Boost.Randomの実装と比較した場合、以下の点に違いがあります。

速度：

std::cauchy_distributionは、標準ライブラリに最適化されているため、一般的な用途では高速です。

一方、Boost.Randomは柔軟性が高い反面、若干遅くなることがあります。

精度：

両者とも高い精度を持ちますが、Boost.Randomはより多くのオプションやカスタマイズが可能です。

拡張性：

Boost.Randomは、複雑な分布やカスタム分布の実装も容易であり、特殊な用途に適しています。

実際のパフォーマンス比較は、用途や環境によって異なるため、必要に応じてベンチマークを行うことを推奨します。

大規模サンプリング時のメモリ管理

大量の乱数を生成する場合、メモリの効率的な管理が重要です。

バッファリング：

一度に大量の乱数を生成し、配列やベクターに格納してから処理を行う場合、メモリの確保と解放に注意します。

必要に応じて、バッファのサイズを調整し、メモリリークを防止します。

ストリーミング処理：

逐次的に乱数を生成し、リアルタイムで処理を行う設計にすると、メモリ負荷を軽減できます。

メモリの最適化：

不要になったデータは速やかに解放し、メモリの断片化を防ぎます。

スレッドセーフな運用方法

並列処理やマルチスレッド環境での安全な乱数生成には、以下のポイントに注意します。

エンジンの共有禁止：

複数スレッドで同じエンジンを共有すると、競合状態やデータ破損の原因となるため、各スレッドごとに独立したエンジンを用意します。

ローカルエンジンの使用：

スレッドごとにローカルなエンジンを作成し、乱数生成を行います。

シードの工夫：

各エンジンに異なるシード値を設定し、乱数の偏りや重複を防ぎます。

ライブラリのスレッドセーフ性：

Boost.Randomは、エンジンと分布の操作自体はスレッドセーフではありません。

したがって、エンジンのインスタンスをスレッドごとに持つ設計が必要です。

これらの注意点を守ることで、性能を最大限に引き出しつつ、安全に並列処理を行うことが可能です。

まとめ

この記事では、Boostライブラリを用いたコーシー分布の利用方法とその応用例、性能面の注意点について解説しました。

標準ライブラリやBoost.Randomを使った乱数生成や確率計算の方法、外れ値シミュレーションやベイズ推定、MCMCの提案分布としての活用例も紹介しています。

さらに、計算精度や大規模サンプリング、スレッド安全性に関するポイントも解説し、実務や研究に役立つ知識を提供しています。