[C言語] 安定な結婚問題を解くアルゴリズムの実装方法

2024-09-07

安定な結婚問題を解くためのアルゴリズムとして、ゲール・シャプレーの安定結婚アルゴリズムが一般的に使用されます。

このアルゴリズムは、男女それぞれの希望リストに基づいて、全員が安定した結婚相手を見つけることを目的としています。

実装方法としては、まず男性が順番に自分の希望リストの上位からプロポーズを行い、女性は複数のプロポーズの中から最も好ましい相手を仮予約します。

このプロセスを、全ての男性が仮予約されるまで繰り返します。

最終的に、仮予約されたペアが安定な結婚の組み合わせとなります。

C言語での実装では、配列やループを用いてこのプロセスをシミュレートします。

この記事でわかること

安定な結婚問題の基本的な概念とその重要性
ゲール・シャプレーのアルゴリズムの原理と実装手順
C言語での実装に必要なデータ構造と最適化の方法
大規模データや他の安定マッチング問題への応用例
現実世界での安定な結婚問題の実装事例

目次から探す

安定な結婚問題とは

問題の概要

安定な結婚問題は、数学やコンピュータサイエンスの分野でよく知られている組合せ最適化問題の一つです。

この問題は、同数の男性と女性のグループが存在し、各人が異性に対して順位付けを行う状況を考えます。

目的は、全員がペアになるようにマッチングを行い、どのペアも「安定」な状態を保つことです。

安定性の定義

安定性とは、どのペアも他のペアと比べて不満がない状態を指します。

具体的には、以下の条件を満たすことが求められます：

どの男性も、現在のパートナーよりも好ましい女性とペアになりたいとは思わない。
どの女性も、現在のパートナーよりも好ましい男性とペアになりたいとは思わない。

この条件を満たすマッチングが「安定なマッチング」と呼ばれます。

実世界での応用例

安定な結婚問題は、実世界のさまざまな場面で応用されています。

以下にいくつかの例を示します：

スクロールできます

応用分野	説明
大学入試	学生と大学の間での入学許可のマッチングに利用されます。
医療機関	医学生と病院の間でのインターンシップの配置に使用されます。
労働市場	企業と求職者の間での雇用契約のマッチングに応用されます。

これらの応用例では、安定なマッチングを実現することで、関係者全員が満足する結果を得ることができます。

ゲール・シャプレーのアルゴリズム

アルゴリズムの基本原理

ゲール・シャプレーのアルゴリズムは、安定な結婚問題を解決するための有名な手法です。

このアルゴリズムは、1962年にデイヴィッド・ゲールとロイド・シャプレーによって提案されました。

基本的な原理は、男性が女性に対してプロポーズを行い、女性がそのプロポーズを受け入れるかどうかを決定するという反復的なプロセスに基づいています。

このプロセスを繰り返すことで、最終的に安定なマッチングが得られます。

アルゴリズムのステップ

ゲール・シャプレーのアルゴリズムは以下の手順で進行します：

初期化: すべての男性と女性は未婚の状態から始まります。
プロポーズ: 各未婚の男性は、まだプロポーズしていない女性の中で最も好ましい女性にプロポーズします。
仮予約: 女性は、複数のプロポーズを受けた場合、最も好ましい男性を仮予約し、他のプロポーズを拒否します。
繰り返し: すべての男性が婚約するまで、プロポーズと仮予約のプロセスを繰り返します。
確定: すべての仮予約が確定し、安定なマッチングが完成します。

アルゴリズムの特性

ゲール・シャプレーのアルゴリズムにはいくつかの重要な特性があります：

安定性: アルゴリズムによって得られるマッチングは常に安定です。

つまり、どのペアも他のペアと比べて不満がない状態です。

最適性: 男性主導のプロポーズでは、男性にとって最も好ましい安定なマッチングが得られます。

逆に、女性主導のプロポーズでは、女性にとって最も好ましい安定なマッチングが得られます。

計算効率: アルゴリズムは多項式時間で解を見つけることができ、実用的な規模の問題に対しても効率的に動作します。

これらの特性により、ゲール・シャプレーのアルゴリズムは、安定な結婚問題を解決するための強力なツールとして広く利用されています。

C言語での実装準備

必要なデータ構造

安定な結婚問題をC言語で実装するためには、以下のデータ構造が必要です：

配列: 各男性と女性の好みの順位を格納するための2次元配列。
状態管理: 各男性のプロポーズ状況や女性の仮予約状況を管理するための配列。

入力データの形式

入力データは、各男性と女性の好みの順位を示す整数の2次元配列として表現されます。

例えば、preferences[男性][順位]の形式で、各男性が好む女性の順位を格納します。

初期化の方法

初期化では、以下の手順を行います：

各男性と女性の好みの配列を設定します。
各男性のプロポーズ状況を未婚状態に設定します。
各女性の仮予約を未婚状態に設定します。

プロポーズの実装

プロポーズの実装では、各未婚の男性が好みの順位に従って女性にプロポーズします。

以下はプロポーズの基本的な流れです：

void propose(int man, int woman) {
    // 男性が女性にプロポーズする
    if (woman_is_free(woman)) {
        // 女性がフリーなら仮予約
        engage(man, woman);
    } else if (woman_prefers(man, woman)) {
        // 女性が現在のパートナーよりもこの男性を好むなら仮予約を更新
        engage(man, woman);
    }
}

仮予約の管理

仮予約の管理では、女性が複数のプロポーズを受けた場合に、最も好ましい男性を選択し、他のプロポーズを拒否します。

これにより、女性の仮予約が更新されます。

結果の出力

最終的なマッチング結果を出力するためには、各男性と女性のペアを表示します。

以下は結果の出力例です：

void print_results() {
    for (int i = 0; i < num_men; i++) {
        printf("男性 %d は 女性 %d とマッチング\n", i, engaged_to[i]);
    }
}

完全なサンプルコード

以下に、C言語での安定な結婚問題の完全なサンプルコードを示します：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define N 4 // 男性と女性の数
int preferences_men[N][N] = {
    {0, 1, 2, 3},
    {1, 0, 3, 2},
    {2, 3, 0, 1},
    {3, 2, 1, 0}
};
int preferences_women[N][N] = {
    {0, 1, 2, 3},
    {1, 2, 3, 0},
    {2, 3, 0, 1},
    {3, 0, 1, 2}
};
int engaged_to[N]; // 各女性が婚約している男性
bool free_men[N];  // 各男性がフリーかどうか

void propose(int man, int woman);

bool woman_is_free(int woman) {
    return engaged_to[woman] == -1;
}
bool woman_prefers(int man, int woman) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (preferences_women[woman][i] == man) return true;
        if (preferences_women[woman][i] == engaged_to[woman]) return false;
    }
    return false;
}
void engage(int man, int woman) {
    if (!woman_is_free(woman)) {
        free_men[engaged_to[woman]] = true;
    }
    engaged_to[woman] = man;
    free_men[man] = false;
}
void stable_marriage() {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        free_men[i] = true;
        engaged_to[i] = -1;
    }
    while (true) {
        int man;
        for (man = 0; man < N; man++) {
            if (free_men[man]) break;
        }
        if (man == N) break;
        for (int i = 0; i < N && free_men[man]; i++) {
            int woman = preferences_men[man][i];
            propose(man, woman);
        }
    }
}
void propose(int man, int woman) {
    if (woman_is_free(woman) || woman_prefers(man, woman)) {
        engage(man, woman);
    }
}
void print_results() {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("男性 %d は 女性 %d とマッチング\n", engaged_to[i], i);
    }
}
int main() {
    stable_marriage();
    print_results();
    return 0;
}

このコードは、4人の男性と4人の女性の間で安定なマッチングを見つけるための実装です。

各男性と女性の好みの順位に基づいて、安定なペアリングを行います。

実装の最適化

計算量の分析

ゲール・シャプレーのアルゴリズムの計算量は、入力のサイズに依存します。

具体的には、男性と女性の数を \( n \) とした場合、アルゴリズムの計算量は \( O(n^2) \) です。

これは、各男性が最大で \( n \) 回プロポーズを行い、各プロポーズに対して女性が順位を確認するためです。

この計算量は、実用的な規模の問題に対しても十分に効率的です。

メモリ使用量の削減

メモリ使用量を削減するためには、以下の点に注意することが重要です：

配列のサイズ: 必要最小限のサイズで配列を定義し、動的メモリ割り当てを使用することで、メモリの無駄を減らします。
データの再利用: 一時的なデータを再利用することで、メモリの使用量を抑えます。

例えば、以下のように動的メモリ割り当てを使用することができます：

int* engaged_to = (int*)malloc(N * sizeof(int));
bool* free_men = (bool*)malloc(N * sizeof(bool));

効率的なデータ構造の選択

効率的なデータ構造を選択することで、アルゴリズムのパフォーマンスを向上させることができます。

以下の点を考慮します：

配列の使用: 配列は、インデックスによるアクセスが高速であるため、好みの順位を格納するのに適しています。
ビットマスク: フラグの管理にはビットマスクを使用することで、メモリ使用量をさらに削減できます。

例えば、男性のプロポーズ状況をビットマスクで管理することができます：

unsigned int free_men_mask = (1 << N) - 1; // Nビットがすべて1のマスク

このように、計算量の分析、メモリ使用量の削減、効率的なデータ構造の選択を行うことで、C言語での安定な結婚問題の実装を最適化することが可能です。

これにより、より大規模なデータセットに対しても効率的に処理を行うことができます。

応用例

大規模データへの対応

安定な結婚問題を大規模データに対応させるためには、アルゴリズムの効率化が重要です。

以下の方法で対応可能です：

並列処理: 複数のプロセッサを使用して、プロポーズや仮予約の処理を並列化することで、処理時間を短縮します。
分割統治法: 問題を小さなサブセットに分割し、それぞれを個別に解決した後、結果を統合する方法です。
メモリ効率の向上: メモリ使用量を最小限に抑えるために、データ構造を最適化し、必要なデータのみを保持します。

これらの手法を組み合わせることで、数千人規模のマッチング問題にも対応可能です。

他の安定マッチング問題への応用

安定な結婚問題のアルゴリズムは、他の安定マッチング問題にも応用できます。

以下にいくつかの例を示します：

大学入試マッチング: 学生と大学の間での入学許可のマッチングに応用され、学生の希望と大学の選考基準を考慮した安定なマッチングを実現します。
医療機関のインターンシップ配置: 医学生と病院の間でのインターンシップの配置に使用され、双方の希望を考慮した配置が可能です。
労働市場のマッチング: 企業と求職者の間での雇用契約のマッチングに応用され、企業のニーズと求職者の希望を考慮した安定な雇用関係を構築します。

現実世界での実装事例

安定な結婚問題のアルゴリズムは、現実世界でさまざまな場面で実装されています。

以下にいくつかの事例を紹介します：

医療マッチングプログラム: アメリカの医療マッチングプログラム(NRMP)は、医学生と病院の間でのインターンシップの配置にゲール・シャプレーのアルゴリズムを使用しています。
大学入試システム: 一部の国では、大学入試の際に学生と大学のマッチングを行うために、このアルゴリズムが利用されています。
オンラインデーティングサービス: 一部のオンラインデーティングサービスでは、ユーザーの好みを考慮したマッチングにこのアルゴリズムを応用しています。

これらの実装事例は、安定な結婚問題のアルゴリズムが多様な分野で有用であることを示しています。