アルゴリズム

[C言語] マンホイットニーのU検定を実装する方法

2025-01-17更新日: 2025-01-17

マンホイットニーのU検定は、2つの独立したサンプルの中央値の差を比較する非パラメトリック検定です。

C言語で実装するには、まず2つのサンプルを入力し、それらを結合して順位付けを行います。

次に、各サンプルの順位の合計を計算し、U統計量を求めます。

U統計量は以下の式で計算されます：

\[U = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} – R_1\]

ここで、\(n_1\)と\(n_2\)はそれぞれのサンプルサイズ、\(R_1\)はサンプル1の順位の合計です。

目次から探す

マンホイットニーのU検定とは
U検定のアルゴリズム
C言語での実装手順
完成したサンプルコード
- 実行例
- 解説
順位付けの実装方法
U統計量の計算
有意性の判定
応用例
まとめ

マンホイットニーのU検定とは

マンホイットニーのU検定(Mann-Whitney U test)は、2つの独立したサンプル間の差を検定するための非パラメトリックな統計手法です。

これは、データが正規分布に従わない場合や、サンプルサイズが小さい場合に有効です。

U検定は、2つのサンプルの順位を比較し、どちらのサンプルが全体的に大きいか小さいかを判断します。

具体的には、各サンプルのデータを統合し、順位を付け、その順位の合計を基にU統計量を計算します。

U統計量が小さいほど、2つのサンプルの分布に差があると判断されます。

U検定のアルゴリズム

マンホイットニーのU検定は、2つの独立したサンプルの分布が異なるかどうかを検定するための手法です。

以下に、U検定のアルゴリズムを段階的に説明します。

サンプルの順位付け

まず、2つのサンプルを1つの集合に統合し、全体のデータに対して順位を付けます。

順位付けは、データの値が小さい順に1から順番に割り当てます。

もし同じ値が複数存在する場合は、その値に対して平均順位を割り当てます。

サンプルA: [3, 1, 4]
サンプルB: [2, 5, 6]

この場合、統合されたデータは [1, 2, 3, 4, 5, 6] となり、それぞれの順位は [1, 2, 3, 4, 5, 6] です。

順位の合計の計算

次に、各サンプルに属するデータの順位の合計を計算します。

サンプルAとサンプルBのそれぞれのデータに対応する順位を合計します。

サンプルAの順位: [3, 1, 4] → 順位の合計 = 1 + 3 + 4 = 8
サンプルBの順位: [2, 5, 6] → 順位の合計 = 2 + 5 + 6 = 13

U統計量の計算式

U統計量は、次の式で計算されます。

\[U_A = R_A – \frac{n_A(n_A + 1)}{2}\]

\[U_B = R_B – \frac{n_B(n_B + 1)}{2}\]

ここで、

\( U_A \) と \( U_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBのU統計量
\( R_A \) と \( R_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBの順位の合計
\( n_A \) と \( n_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBのデータ数です。

最終的なU値は、\( U_A \) と \( U_B \) の小さい方を選びます。

サンプルAのU統計量: \( U_A = 8 – \frac{3(3 + 1)}{2} = 8 – 6 = 2 \)
サンプルBのU統計量: \( U_B = 13 – \frac{3(3 + 1)}{2} = 13 – 6 = 7 \)

この場合、U値は \( U_A = 2 \) となります。

U値の有意性の判定方法

U値が計算されたら、その値が統計的に有意かどうかを判定します。

通常、U値は正規分布に基づいて近似され、p値を計算します。

p値が事前に設定した有意水準(例えば0.05)よりも小さい場合、2つのサンプルの分布に有意な差があると判断されます。

具体的には、次の手順で有意性を判定します。

U値を計算する。
U値に対応するp値を計算する(正規分布を用いる)。
p値が有意水準より小さい場合、帰無仮説を棄却し、2つのサンプルの分布に差があると結論付けます。

C言語での実装手順

マンホイットニーのU検定をC言語で実装するためには、データの入力、順位付け、U統計量の計算、そして有意性の判定を行う必要があります。

以下に、各ステップの詳細を説明します。

必要なライブラリとデータ構造

C言語でU検定を実装する際に必要な標準ライブラリは以下の通りです。

#include <stdio.h>   // 標準入出力
#include <stdlib.h>  // 動的メモリ確保、qsort関数
#include <math.h>    // 数学関数(有意性判定で使用)

また、データを格納するための構造体や配列を使用します。

順位付けを行うために、データとその元のサンプルを保持するための構造体を定義します。

typedef struct {
    double value;  // データの値
    int sample;    // どのサンプルに属するか(0: サンプルA, 1: サンプルB)
} DataPoint;

サンプルデータの入力方法

サンプルデータは、配列として入力します。

サンプルAとサンプルBのデータをそれぞれ別の配列に格納し、後で統合して処理します。

void input_data(double *sampleA, double *sampleB, int nA, int nB) {
    // サンプルAのデータ入力
    printf("サンプルAのデータを入力してください:\n");
    for (int i = 0; i < nA; i++) {
        scanf("%lf", &sampleA[i]);
    }
    // サンプルBのデータ入力
    printf("サンプルBのデータを入力してください:\n");
    for (int i = 0; i < nB; i++) {
        scanf("%lf", &sampleB[i]);
    }
}

順位付けアルゴリズムの実装

次に、サンプルAとサンプルBを統合し、データ全体に対して順位を付けます。

qsort関数を使用してデータをソートし、順位を計算します。

int compare(const void *a, const void *b) {
    // qsort用の比較関数
    double diff = ((DataPoint *)a)->value - ((DataPoint *)b)->value;
    return (diff > 0) - (diff < 0);  // diffが正なら1、負なら-1、0なら0を返す
}
void rank_data(DataPoint *data, int n) {
    qsort(data, n, sizeof(DataPoint), compare);  // データをソート
    // 順位を計算
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        data[i].value = i + 1;  // 順位を割り当て
    }
}

U統計量の計算ロジック

順位が決まったら、各サンプルの順位の合計を計算し、U統計量を求めます。

double calculate_U(DataPoint *data, int n, int nA, int nB) {
    double rank_sum_A = 0.0;
    // サンプルAの順位の合計を計算
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (data[i].sample == 0) {
            rank_sum_A += data[i].value;
        }
    }
    // U統計量を計算
    double U_A = rank_sum_A - (nA * (nA + 1)) / 2.0;
    double U_B = nA * nB - U_A;  // U_Bは補完的に計算
    return (U_A < U_B) ? U_A : U_B;  // 小さい方のU値を返す
}

有意性の判定ロジック

U値が計算されたら、その値が有意かどうかを判定します。

正規分布を用いてp値を計算し、事前に設定した有意水準と比較します。

double calculate_p_value(double U, int nA, int nB) {
    // U値の平均と標準偏差を計算
    double mean_U = nA * nB / 2.0;
    double stddev_U = sqrt(nA * nB * (nA + nB + 1) / 12.0);
    // Z値を計算
    double Z = (U - mean_U) / stddev_U;
    // 正規分布に基づくp値を計算(片側検定)
    return erfc(fabs(Z) / sqrt(2.0)) / 2.0;
}

この関数では、erfc関数を使用して正規分布の累積分布関数を計算し、p値を求めます。

完成したサンプルコード

以下に、マンホイットニーのU検定をC言語で実装したサンプルコードを示します。

このコードでは、2つのサンプルデータを入力し、U統計量を計算して有意性を判定します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
// データポイントの構造体
typedef struct {
    double value;  // データの値
    int sample;    // どのサンプルに属するか(0: サンプルA, 1: サンプルB)
} DataPoint;
// qsort用の比較関数
int compare(const void *a, const void *b) {
    double diff = ((DataPoint *)a)->value - ((DataPoint *)b)->value;
    return (diff > 0) - (diff < 0);  // diffが正なら1、負なら-1、0なら0を返す
}
// サンプルデータの入力
void input_data(double *sampleA, double *sampleB, int nA, int nB) {
    printf("サンプルAのデータを入力してください:\n");
    for (int i = 0; i < nA; i++) {
        scanf("%lf", &sampleA[i]);
    }
    printf("サンプルBのデータを入力してください:\n");
    for (int i = 0; i < nB; i++) {
        scanf("%lf", &sampleB[i]);
    }
}
// 順位付け
void rank_data(DataPoint *data, int n) {
    qsort(data, n, sizeof(DataPoint), compare);  // データをソート
    // 順位を計算
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        data[i].value = i + 1;  // 順位を割り当て
    }
}
// U統計量の計算
double calculate_U(DataPoint *data, int n, int nA, int nB) {
    double rank_sum_A = 0.0;
    // サンプルAの順位の合計を計算
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (data[i].sample == 0) {
            rank_sum_A += data[i].value;
        }
    }
    // U統計量を計算
    double U_A = rank_sum_A - (nA * (nA + 1)) / 2.0;
    double U_B = nA * nB - U_A;  // U_Bは補完的に計算
    return (U_A < U_B) ? U_A : U_B;  // 小さい方のU値を返す
}
// p値の計算
double calculate_p_value(double U, int nA, int nB) {
    // U値の平均と標準偏差を計算
    double mean_U = nA * nB / 2.0;
    double stddev_U = sqrt(nA * nB * (nA + nB + 1) / 12.0);
    // Z値を計算
    double Z = (U - mean_U) / stddev_U;
    // 正規分布に基づくp値を計算(片側検定)
    return erfc(fabs(Z) / sqrt(2.0)) / 2.0;
}
int main() {
    int nA, nB;
    // サンプルサイズの入力
    printf("サンプルAのサイズを入力してください: ");
    scanf("%d", &nA);
    printf("サンプルBのサイズを入力してください: ");
    scanf("%d", &nB);
    // サンプルデータのメモリ確保
    double *sampleA = (double *)malloc(nA * sizeof(double));
    double *sampleB = (double *)malloc(nB * sizeof(double));
    DataPoint *data = (DataPoint *)malloc((nA + nB) * sizeof(DataPoint));
    // サンプルデータの入力
    input_data(sampleA, sampleB, nA, nB);
    // サンプルAとサンプルBを統合
    for (int i = 0; i < nA; i++) {
        data[i].value = sampleA[i];
        data[i].sample = 0;  // サンプルA
    }
    for (int i = 0; i < nB; i++) {
        data[nA + i].value = sampleB[i];
        data[nA + i].sample = 1;  // サンプルB
    }
    // 順位付け
    rank_data(data, nA + nB);
    // U統計量の計算
    double U = calculate_U(data, nA + nB, nA, nB);
    printf("U統計量: %.2f\n", U);
    // p値の計算
    double p_value = calculate_p_value(U, nA, nB);
    printf("p値: %.5f\n", p_value);
    // 有意性の判定
    if (p_value < 0.05) {
        printf("有意な差があります。\n");
    } else {
        printf("有意な差はありません。\n");
    }
    // メモリの解放
    free(sampleA);
    free(sampleB);
    free(data);
    return 0;
}

実行例

以下は、サンプルデータを入力して実行した際の出力例です。

サンプルAのサイズを入力してください: 3
サンプルBのサイズを入力してください: 3
サンプルAのデータを入力してください:
1 3 5
サンプルBのデータを入力してください:
2 4 6
U統計量: 3.00
p値: 0.25635
有意な差はありません。

解説

このプログラムでは、まずサンプルAとサンプルBのデータを入力し、それらを統合して順位付けを行います。

次に、U統計量を計算し、p値を求めます。

最後に、p値が0.05未満であれば「有意な差があります」と表示し、そうでなければ「有意な差はありません」と表示します。

順位付けの実装方法

マンホイットニーのU検定では、2つのサンプルを統合し、全体のデータに対して順位を付ける必要があります。

ここでは、C言語での配列のソート方法、同順位の処理方法、そして順位の合計を求める方法について説明します。

配列のソート方法

C言語では、標準ライブラリのqsort関数を使用して配列をソートすることができます。

qsortは、配列の要素を比較するための関数ポインタを引数として受け取り、任意のデータ型の配列をソートすることが可能です。

以下は、qsortを使用してデータをソートする例です。

#include <stdlib.h>
// qsort用の比較関数
int compare(const void *a, const void *b) {
    double diff = ((DataPoint *)a)->value - ((DataPoint *)b)->value;
    return (diff > 0) - (diff < 0);  // diffが正なら1、負なら-1、0なら0を返す
}
// データのソート
void sort_data(DataPoint *data, int n) {
    qsort(data, n, sizeof(DataPoint), compare);  // データをソート
}

compare関数は、2つのデータポイントを比較し、qsortに渡されます。

qsortは、配列dataを昇順にソートします。

同順位の処理方法

同じ値を持つデータが複数存在する場合、それらのデータには同じ順位を割り当てる必要があります。

このとき、同順位のデータには、その順位の平均を割り当てます。

例えば、データが [1, 2, 2, 3] の場合、2つの 2 は同じ順位を持つため、それらの順位は (2 + 3) / 2 = 2.5 となります。

以下は、同順位の処理を行うコードの例です。

void assign_ranks(DataPoint *data, int n) {
    int i = 0;
    while (i < n) {
        int j = i;
        double rank_sum = 0.0;
        // 同じ値を持つデータを探す
        while (j < n && data[i].value == data[j].value) {
            rank_sum += j + 1;  // 順位を合計
            j++;
        }
        // 平均順位を割り当てる
        double avg_rank = rank_sum / (j - i);
        for (int k = i; k < j; k++) {
            data[k].value = avg_rank;
        }
        i = j;  // 次の異なる値に進む
    }
}

このコードでは、同じ値を持つデータを見つけ、その範囲内の順位の合計を計算し、平均順位を割り当てています。

順位の合計を求める方法

順位が決まったら、各サンプルに属するデータの順位の合計を計算します。

サンプルAとサンプルBのデータに対応する順位をそれぞれ合計し、U統計量の計算に使用します。

以下は、サンプルAの順位の合計を計算するコードの例です。

double calculate_rank_sum(DataPoint *data, int n, int sample_id) {
    double rank_sum = 0.0;
    // 指定されたサンプルの順位の合計を計算
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (data[i].sample == sample_id) {
            rank_sum += data[i].value;
        }
    }
    return rank_sum;
}

この関数では、sample_idが0の場合はサンプルA、1の場合はサンプルBの順位の合計を計算します。

U統計量の計算

マンホイットニーのU検定では、2つのサンプルの順位の合計を基にU統計量を計算します。

U統計量は、2つのサンプルの分布がどれだけ異なるかを示す指標です。

ここでは、U統計量の基本式、サンプルサイズが異なる場合の処理、そして具体的なU値の計算例について説明します。

U統計量の基本式

U統計量は、次の式で計算されます。

\[U_A = R_A – \frac{n_A(n_A + 1)}{2}\]

\[U_B = R_B – \frac{n_B(n_B + 1)}{2}\]

ここで、

\( U_A \) と \( U_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBのU統計量
\( R_A \) と \( R_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBの順位の合計
\( n_A \) と \( n_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBのデータ数です。

最終的なU値は、\( U_A \) と \( U_B \) の小さい方を選びます。

U値が小さいほど、2つのサンプルの分布に差があることを示します。

サンプルサイズが異なる場合の処理

サンプルAとサンプルBのサイズが異なる場合でも、U統計量の計算方法は基本的に同じです。

ただし、サンプルサイズが異なる場合、U統計量の最大値が異なるため、U値の解釈に注意が必要です。

U統計量の最大値は次の式で計算されます。

\[U_{\text{max}} = n_A \times n_B\]

この最大値を基に、U値がどの程度の差を示しているかを判断します。

サンプルサイズが異なる場合でも、U統計量の計算式は変わりませんが、結果の解釈においてはサンプルサイズの違いを考慮する必要があります。

U値の計算例

具体的な例を使って、U統計量の計算を示します。

例1: サンプルサイズが同じ場合

サンプルA: [1, 3, 5]
サンプルB: [2, 4, 6]

まず、これらのデータを統合して順位を付けます。

データ	サンプル	順位
1	A	1
2	B	2
3	A	3
4	B	4
5	A	5
6	B	6

次に、サンプルAとサンプルBの順位の合計を計算します。

サンプルAの順位の合計 \( R_A = 1 + 3 + 5 = 9 \)
サンプルBの順位の合計 \( R_B = 2 + 4 + 6 = 12 \)

U統計量を計算します。

\[U_A = R_A – \frac{n_A(n_A + 1)}{2} = 9 – \frac{3(3 + 1)}{2} = 9 – 6 = 3\]

\[U_B = R_B – \frac{n_B(n_B + 1)}{2} = 12 – \frac{3(3 + 1)}{2} = 12 – 6 = 6\]

この場合、U値は \( U_A = 3 \) です。

例2: サンプルサイズが異なる場合

サンプルA: [1, 3, 5]
サンプルB: [2, 4, 6, 7]

同様に、データを統合して順位を付けます。

データ	サンプル	順位
1	A	1
2	B	2
3	A	3
4	B	4
5	A	5
6	B	6
7	B	7

サンプルAとサンプルBの順位の合計を計算します。

サンプルAの順位の合計 \( R_A = 1 + 3 + 5 = 9 \)
サンプルBの順位の合計 \( R_B = 2 + 4 + 6 + 7 = 19 \)

U統計量を計算します。

\[U_A = R_A – \frac{n_A(n_A + 1)}{2} = 9 – \frac{3(3 + 1)}{2} = 9 – 6 = 3\]

\[U_B = R_B – \frac{n_B(n_B + 1)}{2} = 19 – \frac{4(4 + 1)}{2} = 19 – 10 = 9\]

この場合、U値は \( U_A = 3 \) です。

有意性の判定

マンホイットニーのU検定では、U統計量を計算した後、その値が統計的に有意かどうかを判定します。

通常、U統計量は正規分布に基づいて近似され、p値を計算します。

ここでは、正規分布を用いた近似、p値の計算方法、そして有意水準の設定とその解釈について説明します。

正規分布を用いた近似

サンプルサイズが大きい場合(一般的には \(n_A \geq 20\) または \(n_B \geq 20\))、U統計量は正規分布に従うと近似できます。

この近似を用いることで、U統計量を標準正規分布に変換し、p値を計算することが可能です。

U統計量の平均と標準偏差は次の式で計算されます。

\[\mu_U = \frac{n_A \times n_B}{2}\]

\[\sigma_U = \sqrt{\frac{n_A \times n_B \times (n_A + n_B + 1)}{12}}\]

ここで、

\( \mu_U \) はU統計量の平均
\( \sigma_U \) はU統計量の標準偏差
\( n_A \) と \( n_B \) はそれぞれサンプルAとサンプルBのデータ数です。

U統計量を標準正規分布に変換するためには、次の式を使用します。

\[Z = \frac{U – \mu_U}{\sigma_U}\]

このZ値を用いて、正規分布に基づくp値を計算します。

p値の計算方法

p値は、U統計量が観測された値以上に極端な値を取る確率を示します。

Z値が計算されたら、Z値に対応する正規分布の累積分布関数(CDF)を用いてp値を求めます。

片側検定の場合、p値は次のように計算されます。

\[p = \frac{1}{2} \times \text{erfc}\left(\frac{|Z|}{\sqrt{2}}\right)\]

ここで、erfcは「補完誤差関数」と呼ばれる関数で、正規分布の累積分布関数を計算するために使用されます。

C言語では、math.hライブラリに含まれるerfc関数を使用してp値を計算できます。

C言語でのp値計算の例

#include <math.h>
double calculate_p_value(double U, int nA, int nB) {
    // U値の平均と標準偏差を計算
    double mean_U = nA * nB / 2.0;
    double stddev_U = sqrt(nA * nB * (nA + nB + 1) / 12.0);
    // Z値を計算
    double Z = (U - mean_U) / stddev_U;
    // 正規分布に基づくp値を計算(片側検定)
    return erfc(fabs(Z) / sqrt(2.0)) / 2.0;
}

この関数では、U統計量を標準正規分布に変換し、erfc関数を用いてp値を計算しています。

有意水準の設定と解釈

有意水準(significance level)は、帰無仮説を棄却するための基準となる値です。

一般的には、0.05(5%)や0.01(1%)が使用されます。

p値が有意水準よりも小さい場合、帰無仮説を棄却し、2つのサンプルの分布に有意な差があると判断します。

有意水準の設定

有意水準 0.05: p値が0.05未満であれば、5%のリスクで帰無仮説を棄却します。

これは、観測された結果が偶然である確率が5%未満であることを意味します。

有意水準 0.01: p値が0.01未満であれば、1%のリスクで帰無仮説を棄却します。

これは、観測された結果が偶然である確率が1%未満であることを意味します。

解釈

p値 < 有意水準: 帰無仮説を棄却し、2つのサンプルの分布に有意な差があると結論付けます。
p値 ≥ 有意水準: 帰無仮説を棄却できず、2つのサンプルの分布に有意な差がないと結論付けます。

p値 = 0.03、有意水準 = 0.05の場合: p値が有意水準より小さいため、帰無仮説を棄却し、2つのサンプルの分布に有意な差があると判断します。
p値 = 0.07、有意水準 = 0.05の場合: p値が有意水準より大きいため、帰無仮説を棄却できず、2つのサンプルの分布に有意な差がないと判断します。

応用例

マンホイットニーのU検定は、さまざまなデータセットや状況で応用可能です。

ここでは、小規模データセットや大規模データセットでのU検定の使用方法、他の非パラメトリック検定との比較、そして実験データの解析への応用について説明します。

小規模データセットでのU検定

小規模なデータセット(例えば、サンプルサイズが10未満)では、データが正規分布に従わないことが多く、パラメトリックな検定(t検定など)は適用できません。

このような場合、マンホイットニーのU検定は非常に有効です。

U検定は、データの分布に関する仮定を必要とせず、順位に基づいて検定を行うため、小規模データでも信頼性のある結果を得ることができます。

サンプルA: [1, 2, 3]
サンプルB: [4, 5, 6]

このような小規模データセットでも、U検定を用いることで、2つのサンプルの分布に有意な差があるかどうかを判断できます。

大規模データセットでの最適化

大規模なデータセット(例えば、サンプルサイズが数千以上)では、U検定の計算が時間的に負担になることがあります。

このような場合、いくつかの最適化手法を用いることで、計算時間を短縮できます。

最適化の方法

ソートアルゴリズムの最適化: 標準のqsort関数は一般的に効率的ですが、データの特性に応じて、より高速なソートアルゴリズム(例えば、ヒープソートやマージソート)を使用することができます。
並列処理の導入: 大規模データセットでは、ソートや順位付けの処理を並列化することで、計算時間を大幅に短縮できます。

C言語では、OpenMPなどのライブラリを使用して並列処理を実装できます。

メモリ効率の向上: 大規模データセットでは、メモリ使用量が問題になることがあります。

データの格納方法を工夫し、メモリ効率を向上させることで、より大きなデータセットを扱うことが可能になります。

サンプルA: 10,000個のデータ
サンプルB: 10,000個のデータ

このような大規模データセットでは、ソートや順位付けの処理を最適化することで、U検定の計算を効率化できます。

他の非パラメトリック検定との比較

マンホイットニーのU検定は、2つの独立したサンプルの分布を比較するための非パラメトリック検定ですが、他にもいくつかの非パラメトリック検定があります。

ここでは、代表的な検定とU検定の比較を行います。

検定名	比較対象	特徴
マンホイットニーのU検定	2つの独立したサンプル	順位に基づく検定。データが正規分布に従わない場合に有効。
ウィルコクソンの符号順位検定	2つの対応のあるサンプル	対応のあるデータ(ペアデータ)に対して使用。差の順位に基づく。
クラスカル・ウォリス検定	3つ以上の独立したサンプル	3つ以上のサンプルの分布を比較するための非パラメトリック検定。
コルモゴロフ・スミルノフ検定	2つの分布の形状	2つのサンプルの分布の形状が異なるかどうかを検定。