C言語で実装する双曲線関数（sinh, cosh, tanh）の計算方法を解説

この記事では、C言語で双曲線関数の計算を自前で実装する方法を解説します。

Taylor展開を利用して、$\sinh (x)$、$\cosh (x)$、$\tanh (x)$の計算手法を具体的な例とともに説明します。

数学的な定義に基づいたアルゴリズムを分かりやすく紹介し、実践的な実装方法に焦点を当てます。

数学的基礎とTaylor展開

双曲線関数の定義と性質

sinh(x) の定義と特徴

双曲線正弦関数 sinh(x) は、実数の値 x に対して以下のように定義されます。

$$\sinh (x)=\frac{e^x–e^{-x}}{2}$$

この定義式から、sinh(x) は奇関数であることがわかります。

また、原点では0となり、xの符号に応じて正または負の値を取る線形的な性質と指数関数的な増加を併せ持ちます。

数値計算においては、指数関数の計算精度や丸め誤差に注意が必要です。

cosh(x) の定義と特徴

双曲線余弦関数 cosh(x) は、次のように定義されます。

$$\cosh (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

この関数は偶関数であり、どの実数 x に対しても非負の値をとります。

特に、cosh(0) = 1 となり、値は常に1以上であるため、振幅が常に大きくなる性質があります。

数値実装時には結果が1より大きいことや、急激な増大に伴う計算上のオーバーフローに留意することが重要です。

tanh(x) の定義と特徴

双曲線正接関数 tanh(x) は以下のような定義で与えられます。

$$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$$

この定義から、tanh(x) は奇関数であり、xが無限大に近づくと1、負の無限大に近づくと-1という漸近性を持ちます。

計算上は、分子と分母の指数関数の振る舞いにより、数値の収束が早いというメリットがある一方、分母が1に近い場合の精度管理が求められます。

Taylor展開による近似手法

Taylor展開の基本原理と展開式

Taylor展開は、解析的な関数を無限級数で近似する手法です。

実数 x のまわりで関数 f(x) を展開する際、次の式が用いられます。

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f”(0)}{2!}{x}^2+\frac{f{”}^{\prime }(0)}{3!}{x}^3+\cdots$$

各項の係数は関数の各階微分に基づいており、実際の計算では有限項で近似するため、項数と丸め誤差の管理が必要となります。

双曲線関数においてもこの展開を適用することで、数値実装の際に指数関数の計算を直接行わずに済むメリットがあります。

関数ごとのTaylor展開例

各双曲線関数のTaylor展開は以下のように表せます。

• sinh(x) の展開式

$$\sinh (x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$$

この展開では奇数次の項のみが現れます。

• cosh(x) の展開式

$$\cosh (x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

こちらは偶数次の項がすべて含まれ、原点での特性を反映しています。

• tanh(x) は上記2つの比として定義されるため、直接のTaylor展開は複雑ですが、sinh(x) と cosh(x) の展開を用いて比の形で求めることができます。

いずれの展開においても、必要な精度に合わせて項数を調整し、誤差解析を行うことが実装上非常に大切です。

C言語による実装手法

実装アルゴリズムの設計

シリーズ展開の項数と丸め誤差対策

C言語で双曲線関数を実装する際、Taylor展開の項数を適切に選ぶことが求められます。

例えば、sinh(x) では小さい |x| の場合、最初の数項のみでも十分な精度が得られる場合があります。

一方で、|x| が大きくなるとより多くの項が必要となり、項数が増えることで丸め誤差が累積しやすくなります。

そこで以下のような対策が考えられます。

• 計算する項数の上限を状況に応じて設定する。
• 各項の計算時に分子・分母の大きさに注意し、必要に応じて冗長な桁数を保持する。
• 収束判定として、ある項の追加による変化が設定した閾値以下であれば、展開を打ち切る方法を採用する。

データ型の選択と演算精度の注意点

C言語で数値演算を行う場合、float や double といったデータ型選択が重要です。

双曲線関数の実装では、指数関数計算や累乗計算において桁落ちや桁あふれのリスクを伴います。

具体的には以下の点に気をつけます。

• 通常、double 型を用いることでより高い精度を確保する。
• 必要に応じて、複雑な計算には長精度演算をサポートするライブラリや自前の多倍長演算を検討する。
• 中間計算結果を保存する変数の初期化や型変換の際に、予期せぬ誤差がないようにコードを慎重に設計する。

関数ごとの実装例

sinh関数の実装手順

sinh(x) の実装では、Taylor展開による近似を行います。

以下のサンプルコードでは、任意の項数まで展開を行い、一定の収束条件を満たすと計算を終了する例を示します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 双曲線正弦関数のTaylor展開による近似
double calc_sinh(double x) {
    double term = x;       // 初項 x
    double sum = x;        // 合計値は初項で初期化
    int n = 1;
    // 収束のための閾値
    const double threshold = 1e-10;
    while (fabs(term) > threshold) {
        // 次項の計算: term * x^2 / ((2*n)*(2*n+1))
        term = term * x * x / ((2 * n) * (2 * n + 1));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}
int main(void) {
    double angle = 1.0;
    double result = calc_sinh(angle);
    // 画面に出力
    printf("sinh(%f) = %f\n", angle, result);
    return 0;
}

sinh(1.000000) = 1.175201

cosh関数の実装手順

cosh(x) の実装も同様に、Taylor展開を用いて計算します。

初項を1として偶数次の展開を採用する点が特徴です。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 双曲線余弦関数のTaylor展開による近似
double calc_cosh(double x) {
    double term = 1.0;     // 初項 1
    double sum = 1.0;      // 合計値は初項で初期化
    int n = 1;
    const double threshold = 1e-10;
    while (fabs(term) > threshold) {
        // 次項の計算: term * x^2 / ((2*n-1)*(2*n))
        term = term * x * x / ((2 * n - 1) * (2 * n));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}
int main(void) {
    double angle = 1.0;
    double result = calc_cosh(angle);
    printf("cosh(%f) = %f\n", angle, result);
    return 0;
}

cosh(1.000000) = 1.543081

tanh関数の実装手順

tanh(x) は sinh(x) と cosh(x) の比として求めます。

すでに実装済みの関数を用いて簡潔に実装できるため、以下の例ではその手法を示します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 双曲線正弦関数の近似
double calc_sinh(double x) {
    double term = x;
    double sum = x;
    int n = 1;
    const double threshold = 1e-10;
    while (fabs(term) > threshold) {
        term = term * x * x / ((2 * n) * (2 * n + 1));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}
// 双曲線余弦関数の近似
double calc_cosh(double x) {
    double term = 1.0;
    double sum = 1.0;
    int n = 1;
    const double threshold = 1e-10;
    while (fabs(term) > threshold) {
        term = term * x * x / ((2 * n - 1) * (2 * n));
        sum += term;
        n++;
    }
    return sum;
}
// 双曲線正接関数の計算
double calc_tanh(double x) {
    double sinh_val = calc_sinh(x);
    double cosh_val = calc_cosh(x);
    return sinh_val / cosh_val;
}
int main(void) {
    double angle = 1.0;
    double result = calc_tanh(angle);
    printf("tanh(%f) = %f\n", angle, result);
    return 0;
}

tanh(1.000000) = 0.761594

精度評価と性能最適化

精度検証のポイント

誤差評価と収束条件の確認

実装した関数は、Taylor展開の項数により近似精度が変動します。

各関数の収束を確認するためには、以下の対策が役立ちます。

• 収束条件として、追加する項の絶対値が十分小さくなった場合に計算を終了する。具体的には、採用する閾値 threshold を設定することで、収束判定を行います。
• 数学ライブラリによって計算される正確な値と比較することで、相対誤差や絶対誤差を評価する。
• 複数の入力値(小さい値、大きい値)に対してテストを実施し、誤差の傾向を確認することで、アルゴリズムの信頼性を確保します。

計算結果の比較検証方法

実際に実装した関数の出力結果を以下の方法で検証することが有用です。

• 標準ライブラリの sinh, cosh, tanh 関数と比較し、誤差が閾値内に収まっているか確認する。
• テストケースとして、既知の数式や数学的性質(例えば、cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1)を用いた検証を行う。
• 同一入力に対して数値計算と理論値を比較し、誤差の原因が丸め誤差や項数不足に起因するかどうかを解析することが推奨されます。

性能最適化の考慮事項

計算速度向上の工夫

双曲線関数の実装では、系列展開の項数が大きくなると計算速度が低下する可能性があります。

性能最適化のためには以下のアプローチを検討してください。

• 収束条件を適切に設定し、必要な項数が無駄に増えないようにする。
• 中間計算で共通して利用される値(例えば、x*x)を変数に格納し、再計算を回避する。
• コンパイラの最適化オプションを有効にするなど、実行時に最適なコードが生成されるよう努める。

メモリ使用量の最適化対策

数値計算において、メモリ使用量もまた最適化の対象の一つです。

以下の点に留意してください。

• 不要な変数や中間結果を保存しないように設計をシンプルにし、スタック領域の無駄な使用を回避する。
• 高精度の計算が必要な場合、double 型の使用を基本とし、場合によっては動的なメモリ割り当ての必要がないように工夫する。
• 定数や閾値などをヘッダ部分で定義することで、コードの再利用性を高め、メモリの管理を容易にする方法も検討できます。

まとめ

この記事では、C言語で双曲線関数(sinh、cosh、tanh)を計算するための数学的定義やTaylor展開を用いた近似手法、そして実装時のアルゴリズム設計のポイントについて説明しています。

各関数の特徴、シリーズ展開における項数制御や丸め誤差対策、データ型選択などの実装上の注意点が理解でき、具体的なサンプルコードを通して実際の計算例が把握可能な内容となっています。