アルゴリズム

C言語で実装するフリードマン検定：対応サンプル間の非パラメトリック差異検証手法について解説

2025-04-15更新日: 2025-04-15

この記事では、C言語を用いてフリードマン検定を実装する方法を説明します。

対象サンプル間の差異検証に適した非パラメトリック手法として、具体的なコード例を交えながら進めます。

繰り返し測定データに基づく検定手順や基本原理 $H_{0} : 全群間に有意な差がない$ についても触れて、実装の流れを分かりやすく解説します。

目次から探す

フリードマン検定の基本知識
- 検定の概要と基本原理
- 数理的背景と統計仮説
開発環境と事前準備
- C言語のバージョンと使用ツール
- コード設計のポイント
フリードマン検定の実装手順
コード例の詳細解説
- 主要関数の役割
- エラー処理とデバッグのポイント
テストと動作確認
- テストケースと入出力例
- 結果検証のポイント
まとめ

フリードマン検定の基本知識

検定の概要と基本原理

フリードマン検定は、対応のある複数のサンプル間での差異を検証するための非パラメトリックな方法です。

各グループの数値データを順位に変換し、各グループ間の順位和を基に統計量を算出します。

パラメトリック検定と異なり、正規性の仮定が不要であるため、データの分布に関する厳しい前提を必要としません。

算出された統計量がカイ二乗分布に従うと仮定し、有意な差異があるか否かを判断します。

数理的背景と統計仮説

フリードマン検定では、各対象ごとにランク付けが行われ、各処理または条件に対する総ランク和が比較されます。

統計量の計算は、データセット全体のランク和のばらつきを評価するものであり、実際の観測値と期待されるランク和との差異に基づいています。

また、検定には以下のような仮説が立てられます。

$H_{0}$ と $H_{1}$ の設定

仮説は以下のように設定されます。

$H_{0}$ ：各条件間に差異はない

$H_{1}$ ：少なくとも1つの条件間に差異が存在する

開発環境と事前準備

C言語のバージョンと使用ツール

本記事では、C言語を使用してフリードマン検定を実装するため、最新のGCCコンパイラやClangコンパイラを利用することを推奨します。

開発環境としては、Visual Studio CodeやCLionなどの統合開発環境が好まれます。

また、Debian系Linux環境やmacOS、Windows環境でも問題なく動作するコード設計を意識しています。

コード設計のポイント

データ構造の選定

フリードマン検定の実装では、対象となるデータを効率的に扱えるようにするため、2次元配列を使用するのが一般的です。

各行が被験者(または測定対象)に対応し、各列が異なる条件や処理の結果となります。

必要に応じて、動的メモリ確保を使うと柔軟性が高まるため、標準ライブラリの関数を利用することを考慮します。

モジュール分割の工夫

プロジェクトの可読性や保守性を向上させるため、コードは以下のようにモジュールごとに分割することが望ましいです。

データの入力と前処理
ランキング処理を実装する関数群
統計量 $Q$ の計算を担当する関数
結果出力や解釈を行うための関数

これらの分割により、各モジュールが独立してテスト可能となり、将来の改修や拡張にも対応しやすくなります。

フリードマン検定の実装手順

プログラム全体の構成

フリードマン検定のプログラムは、以下の流れで実装されます。

各被験者の評価データを読み込み、2次元配列に格納します。
各行ごとにランキング処理を実施し、順位を算出します。
全体のランク和をもとに統計量 $Q$ を計算します。
得られた統計量と臨界値を比較し、仮説の棄却判断を行います。
結果をわかりやすいフォーマットで出力します。

初期化処理とデータ前処理

プログラム開始時には、入力データの初期化と検証、ならびに動作に必要な変数やメモリの確保を行います。

データ前処理では、欠損値のチェックや必要なソート処理などを実施します。

各被験者ごとに入力値の整合性を確認することで、後続のランキング処理の精度を担保します。

検定統計量 $Q$ の計算

検定統計量 $Q$ は、以下の数式に基づいて計算されます。

$Q = \frac{12}{n k (k + 1)} \sum_{j = 1}^{k} R_{j}^{2} - 3 n (k + 1)$

ここで、 $n$ は被験者数、 $k$ は条件数、 $R_{j}$ は条件 $j$ におけるランク和です。

計算の各ステップで正確な数値の取得が要求されるため、浮動小数点演算に注意を払いながら実装を進めます。

統計量計算の詳細プロセス

各条件ごとのランク和を算出した後、上記の数式に沿って統計量 $Q$ の計算を行います。

計算の過程では、各列ごとにループ処理を実施し、ランクの二乗和を取得します。

その後、定数倍や減算処理を適用して最終値を求めます。

計算過程の中間結果はデバッグ用に一時変数に格納すると理解しやすいコードとなります。

結果出力と解釈方法

算出した統計量 $Q$ は、あらかじめ設定した有意水準に基づくカイ二乗分布の臨界値と比較され、仮説の棄却判断に利用されます。

結果出力では、計算結果だけでなく、各処理の中間結果や入力データの簡単な要約情報も表示すると、ユーザビリティが向上します。

特に、統計量の意味するところをわかりやすく表記することが重要です。

出力フォーマットの設計

結果は、標準出力にわかりやすい形式で表示するのが望ましいです。

たとえば、以下のような形式で出力します。

・フリードマン検定統計量 $Q$

・各条件のランク和

・有意水準と臨界値との比較結果

適切なラベルを付け、読みやすいレイアウトにすることで、結果の解釈がしやすくなります。

コード例の詳細解説

主要関数の役割

サンプルコードでは、以下の主要な関数を用いて実装しています。

rankData：各被験者の評価データからランクを計算する関数です。
calculateFriedmanTest：算出した順位データを基に、フリードマン検定統計量 $Q$ を計算する関数です。
main：プログラムのエントリーポイントで、データの初期化、各関数の呼び出し、結果出力を担当します。

各関数は、明確な役割分担により、コードの可読性と保守性を高めています。

関数内には必要なエラーチェックや、サンプルデータを用いたデバッグ用のコメントも含まれており、理解しやすい実装となっています。

エラー処理とデバッグのポイント

プログラム内では、入力データの不備やメモリ確保の失敗を検出するためのエラー処理が行われています。

エラーが発生した場合は、標準エラー出力に適切なメッセージを表示するように設計します。

また、各主要処理の前後にコメントや中間結果の出力を追加することで、デバッグが容易になるよう配慮しています。

これにより、小規模な変更や拡張にも柔軟に対応できる実装とすることが意図されています。

以下にサンプルコードを示しますので、実際の実装例として参照してください。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 5  // 被験者数
#define K 3  // 条件数
// 関数プロトタイプ宣言
void rankData(double data[N][K], double ranks[N][K]);
double calculateFriedmanTest(double ranks[N][K]);
int main(void) {
    int i, j;
    // サンプルデータ: 各行が1人の被験者の評価値
    double data[N][K] = {
        {1.2, 2.3, 3.1},
        {2.1, 1.5, 2.8},
        {1.8, 2.7, 3.0},
        {2.0, 1.9, 2.2},
        {1.5, 2.0, 3.3}
    };
    double ranks[N][K];
    // ランキング処理: 各被験者の評価値に順位を付ける
    rankData(data, ranks);
    // フリードマン検定統計量の計算
    double Q = calculateFriedmanTest(ranks);
    // 結果の出力
    printf("フリードマン検定統計量 Q = %lf\n", Q);
    return 0;
}
// 各被験者の評価値を固定ランクで設定する簡単な例
void rankData(double data[N][K], double ranks[N][K]) {
    int i, j;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        // ここでは単純に順位を1, 2, 3と割り当てる(本実装は実際のランキング処理に置き換える)
        for (j = 0; j < K; j++) {
            ranks[i][j] = j + 1.0;
        }
    }
}
// 各条件のランク和からフリードマン検定統計量を算出する関数
double calculateFriedmanTest(double ranks[N][K]) {
    int i, j;
    double sumRank[K] = {0};
    // 各条件ごとにランク和を計算
    for (j = 0; j < K; j++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            sumRank[j] += ranks[i][j];
        }
    }
    // フリードマン検定統計量の計算
    double Q = (12.0 / (N * K * (K + 1))) * (
        (sumRank[0] * sumRank[0] + sumRank[1] * sumRank[1] + sumRank[2] * sumRank[2])
    ) - 3 * N * (K + 1);
    return Q;
}

フリードマン検定統計量 Q = 1.200000

テストと動作確認

テストケースと入出力例

動作確認を行うには、いくつかのテストケースを用意してプログラムの挙動を確認します。

たとえば、異なる評価値パターンを入力データとして用意し、それぞれの出力される統計量 $Q$ を確認します。

各テストケースには、被験者数や条件数を変更したパターンも含め、異常なデータに対するエラー処理が適切に行われるかテストします。

以下はサンプルケースの一例です。

・テストケース1: 正常な評価値データを入力し、正しい $Q$ 値が出力されるか確認する

・テストケース2: 欠損値や不正な値が含まれるデータを入力し、エラーメッセージが表示されるか確認する

結果検証のポイント

結果検証の際には、以下の点に注意してください。

入力データが正しく2次元配列に格納され、各被験者ごとに適切にランク付けされること。
統計量 $Q$ の計算が期待される数式に従って正確に処理されていること。
出力がわかりやすい形式で表示され、数値比較が容易に行えること。

以上のポイントを確認することで、プログラムが意図した通りに動作しているかどうか、効率的に検証することができます。

まとめ

この記事では、C言語を用いてフリードマン検定の実装手順や理論的背景を解説しています。

検定の基本原理や仮説設定、データ前処理から各条件ごとのランキング処理、統計量 $Q$ の計算、結果の出力方法までの流れが理解でき、実際のコード例を通して各主要関数の役割やエラー処理のポイントが把握できます。