アルゴリズム

C言語で実装するフラクタル画像圧縮アルゴリズム：自己相似性の活用方法を解説

2025-01-17更新日: 2025-01-17

本記事ではC言語を用いたフラクタル画像圧縮の手法について解説します。

画像内に存在する自己相似性を活用し、細部の情報を保ちながら効率的な圧縮を実現するアルゴリズムの流れや計算手法を具体的に紹介します。

目次から探す

フラクタル画像圧縮アルゴリズムの基本原理
- 自己相似性の概念
- 圧縮手法の流れ
C言語による実装のポイント
- 開発環境とコード構成
- アルゴリズム実装の詳細
アルゴリズムの最適化と検証
- 計算効率向上の工夫
- デバッグとテストのポイント
まとめ

フラクタル画像圧縮アルゴリズムの基本原理

自己相似性の概念

自己相似性の定義と特徴

自己相似性とは、全体と部分が類似した構造を持つ性質のことです。

フラクタル画像圧縮では、画像のある領域と別の領域が同じパターンを示すと仮定し、その共通性を利用して圧縮を行います。

数学的には、自己相似性は次のような形で表されることがあります。

$I (x, y) \approx a \cdot I (s x, s y) + b$

ここで $I (x, y)$ は画像の輝度値、 $a$ と $b$ は変換パラメータ、 $s$ は縮小率を示します。

これは、画像の一部を拡大・縮小した際に同様の模様が得られるという考え方に基づいております。

対象画像における自己相似性の例

対象画像としては、自然界の風景や木の葉、岩石の模様などが挙げられます。

これらの画像は、局所的なパターンが画像全体に繰り返し現れる構造を持っています。

たとえば、ある画像の一部に現れる渦巻き模様が、他の部分にも類似した形状で現れる場合、同じパターンを利用して効率的に圧縮することが可能です。

圧縮手法の流れ

ドメインブロックとレンジブロックの対応付け

フラクタル圧縮アルゴリズムは、まず画像を複数のブロックに分割するところから始まります。

レンジブロック: 小さいブロック単位で画像の局所情報を表す
ドメインブロック: より大きなブロック単位で、レンジブロックと自己相似性を持つ候補領域を提供

各レンジブロックに対して、最も類似したドメインブロックを探索し、変換パラメータを決定します。

この対応付けにより、画像全体を少数の変換情報により再現することが可能になります。

変換マッピングの算出方法

ドメインブロックとレンジブロックの対応が決定したら、次に行うのは変換マッピングの算出です。

具体的には、レンジブロックの輝度値をドメインブロックの輝度値に合わせるために、線形変換を用いる方法が一般的です。

変換は以下の式で表されます。

$I_{r a n g e} = a \times I_{d o m a i n} + b$

ここで、 $a$ はコントラスト調整、 $b$ は輝度のオフセットを意味します。

最適な $a$ と $b$ は、レンジブロックと変換後のドメインブロックとの誤差を最小化するように決定されます。

C言語による実装のポイント

開発環境とコード構成

開発環境の前提条件

本アルゴリズムを実装するためには、以下の環境が前提となります。

OS: Windows、Linux、又はmacOS
コンパイラ: gcc や clang などの標準Cコンパイラ
標準ライブラリのみで動作するため、追加のライブラリは不要な場合が多い

ファイルとモジュールの分割構成

実装は以下のようにファイルを分割することが推奨されます。

main.c : エントリーポイントおよび全体の制御
image_io.c / image_io.h : 画像データの読み込みや保存処理
fractal.c / fractal.h : フラクタル圧縮アルゴリズム本体の実装
util.c / util.h : 補助的な関数(メモリ管理、エラーチェックなど)

モジュールごとに責務を分割することで、コードの可読性と保守性が向上します。

アルゴリズム実装の詳細

画像データの読み込みと前処理

画像データの読み込みでは、バイナリファイルから輝度値データを取得します。

前処理としては、必要に応じてサイズ調整やフィルタ処理を行います。

以下にサンプルコードを示します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#define WIDTH 256
#define HEIGHT 256
// 画像データをバイナリファイルから読み込む関数
void loadImage(const char *filename, uint8_t image[HEIGHT][WIDTH]) {
    FILE *fp = fopen(filename, "rb");
    if (fp == NULL) {
        fprintf(stderr, "ファイルオープンエラー: %s\n", filename);
        exit(EXIT_FAILURE);
    }
    // 画像全体の輝度値を読み込みます
    fread(image, sizeof(uint8_t), WIDTH * HEIGHT, fp);
    fclose(fp);
}
int main(void) {
    uint8_t image[HEIGHT][WIDTH];
    // サンプル画像 'input.raw' を読み込みます
    loadImage("input.raw", image);
    printf("画像の読み込み完了\n");
    return 0;
}

画像の読み込み完了

自己相似性解析の実装

自己相似性解析では、画像の各ブロックを走査し、類似度を評価します。

具体的には、2次元配列上でブロックごとの平均輝度や分散を計算し、ある閾値以下の誤差を示すブロック同士をマッチングさせます。

以下は、疑似的な比較処理の一例です。

#include <math.h>
// 2つのブロック間の平均二乗誤差 (MSE) を計算する関数
double computeMSE(const uint8_t block1[16][16], const uint8_t block2[16][16]) {
    double mse = 0.0;
    for (int i = 0; i < 16; i++) {
        for (int j = 0; j < 16; j++) {
            double diff = block1[i][j] - block2[i][j];
            mse += diff * diff;
        }
    }
    return mse / (16 * 16);
}

領域分割と対応領域の抽出

画像全体をレンジブロックとドメインブロックに分割し、各レンジブロックに対して対応するドメインブロックを探索します。

分割方法としては、固定サイズでの分割や、オーバーラップを許容する手法が考えられます。

探索アルゴリズムは、全探索または局所探索によって実装され、各候補領域に対して先述の自己相似性解析を行います。

最適変換の計算手順

各レンジブロックと最も一致するドメインブロックが特定された後、最適な変換パラメータ $a$ と $b$ を算出します。

最小二乗法を適用し、以下の連立方程式を解くことで求めることができます。

${\begin{cases} a \times S_{x x} + b \times S_{x} = S_{x y} \\ a \times S_{x} + b \times N = S_{y} \end{cases}$

ここで、 $S_{x x}, S_{x y}, S_{x}, S_{y}$ はそれぞれ、ドメインブロックとレンジブロックの輝度値に関する統計量、 $N$ はピクセル数です。

変換情報の保存と圧縮データ生成

得られた変換パラメータやブロックの対応情報は、圧縮データとしてファイルに保存します。

保存形式としては、各ブロックの開始位置、変換パラメータ $a$ および $b$ をバイナリ形式やテキスト形式で保持することが一般的です。

サンプルとして、構造体を用いて変換情報を保存する方法を以下に示します。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef struct {
    int range_x;
    int range_y;
    int domain_x;
    int domain_y;
    double a;
    double b;
} TransformInfo;
// 変換情報をバイナリファイルに書き込む関数
void saveTransformInfo(const char *filename, TransformInfo *info, int count) {
    FILE *fp = fopen(filename, "wb");
    if (fp == NULL) {
        fprintf(stderr, "変換情報ファイルのオープンエラー: %s\n", filename);
        exit(EXIT_FAILURE);
    }
    fwrite(info, sizeof(TransformInfo), count, fp);
    fclose(fp);
}
int main(void) {
    TransformInfo infoArray[2] = {
        {0, 0, 16, 16, 0.85, 10.0},
        {16, 0, 32, 16, 0.90, 8.0}
    };
    // 変換情報を 'transform.dat' に保存します
    saveTransformInfo("transform.dat", infoArray, 2);
    printf("変換情報の保存完了\n");
    return 0;
}

変換情報の保存完了

アルゴリズムの最適化と検証

計算効率向上の工夫

メモリ管理と再利用戦略

大規模な画像データや多数のブロックを扱う場合、必要なメモリの確保と適切な解放は非常に重要です。

動的メモリ割り当てを利用し、各ブロックの情報を効率的に管理するために、メモリプールやバッファ再利用の戦略を実装します。

これにより、不要なメモリ確保によるオーバーヘッドを削減し、全体の処理速度を向上させます。

並列処理の導入可能性

各レンジブロックの評価は互いに独立であるため、並列処理を導入することで大幅な高速化が期待できます。

たとえば、OpenMPを用いてループ処理を並列化するサンプルコードは以下のようになります。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#include <omp.h>
#define BLOCKS 100
// 仮のブロック評価関数
double evaluateBlock(int blockIndex) {
    // 各ブロックの評価をシミュレーションします
    return blockIndex * 0.5;
}
int main(void) {
    double results[BLOCKS];
    int i;
    // OpenMP により各ブロックの評価を並列処理します
    #pragma omp parallel for private(i)
    for (i = 0; i < BLOCKS; i++) {
        results[i] = evaluateBlock(i);
    }
    // 結果の一部を表示します
    for (i = 0; i < 5; i++) {
        printf("Block %d: %f\n", i, results[i]);
    }
    return 0;
}

Block 0: 0.000000
Block 1: 0.500000
Block 2: 1.000000
Block 3: 1.500000
Block 4: 2.000000

デバッグとテストのポイント

テストケースの設計と評価方法

アルゴリズムの正確性を確認するためには、さまざまな画像パターンに対するテストケースを用意します。

画像のサイズ、自己相似性の度合い、ノイズの影響など、異なる条件下でアルゴリズムの動作を評価し、各ブロックごとの変換パラメータや全体の復元精度を検証します。

また、境界条件や例外処理についても十分にチェックする体制を整えます。

パフォーマンス評価の手法

圧縮アルゴリズムのパフォーマンス評価は、実行時間やメモリ使用量、そして復元画像の品質を基準に行います。

標準ライブラリの clock()関数を利用して処理時間を計測したり、複数回の実行結果を平均化することで、より正確な評価結果を得るようにします。

評価結果は、グラフや表にまとめて各条件下でのパフォーマンスの違いを視覚的に示すと有効です。

まとめ

この記事では、自己相似性の概念に基づくフラクタル画像圧縮アルゴリズムの基本原理と、ドメインブロックとレンジブロックの対応付けおよび変換マッピング算出の流れが理解できます。

また、C言語を用いた実装の具体例を通して、画像データの読み込み、自己相似性解析、領域分割、最適変換計算、そして変換情報の保存方法が学べ、加えて最適化や検証の工夫とテスト手法も確認できます。