[C言語] 連立1次方程式を解く方法(吐き出し法/クラメルの公式/反復法)

Q: 吐き出し法でゼロ除算が発生する場合はどうすればいいですか？

吐き出し法でゼロ除算が発生する場合、以下の対処法があります。 ピボット選択 : 行の入れ替えを行い、ゼロでない要素をピボットとして選択します。 これにより、ゼロ除算を回避できます。 小さな値での代替 : ゼロに近い値を持つ要素を選択し、計算を行うことも可能ですが、数値的安定性が低下する可能性があります。 行列の再構成 : 行列の構成を見直し、ゼロ除算が発生しないように方程式を再設定することも考慮します。

Q: クラメルの公式はどのような場合に不適切ですか？

クラメルの公式は以下の条件において不適切です。 行列の行列式がゼロ : 行列が特異(行列式がゼロ)である場合、解が存在しないか、無限に多くの解が存在するため、クラメルの公式は適用できません。 方程式の数と変数の数が異なる : 方程式の数が変数の数と一致しない場合、クラメルの公式は使用できません。 非線形方程式 : クラメルの公式は線形方程式にのみ適用可能であり、非線形方程式には使用できません。

Q: 反復法が収束しない場合の対処法は？

反復法が収束しない場合、以下の対処法があります。 初期値の見直し : 初期値を変更することで、収束する可能性が高まります。 解に近い値を選ぶことが重要です。 行列の対角優位性の確認 : 行列が対角優位であるか確認し、必要に応じて行列の構成を見直します。 収束条件の調整 : 収束条件を緩和することで、より早く収束する場合がありますが、解の精度が低下する可能性があります。 他の手法の検討 : 収束しない場合は、吐き出し法やクラメルの公式など、他の解法を検討することも有効です。

C言語で連立一次方程式を解く方法には、いくつかの手法があります。

吐き出し法(ガウスの消去法)は、行列を上三角行列に変換し、後退代入で解を求めます。

クラメルの公式は、行列の行列式を用いて解を求める方法で、\(Ax = b\)の形の方程式に対して、各変数の解を行列式の比で表します。

反復法(ヤコビ法やガウス＝ザイデル法)は、初期値から反復的に解を近似していく手法です。

この記事でわかること

連立一次方程式の基本
各解法の特徴と手順
各手法のメリットとデメリット
応用例における実際の使用
収束条件や対処法の重要性

目次から探す

連立一次方程式とは

連立一次方程式とは、複数の一次方程式が同時に成り立つような解を求める数学的な問題です。

一般的に、\( n \) 個の変数を持つ \( m \) 個の一次方程式から構成されます。

例えば、2つの変数\( x \) と \( y \) を持つ2つの方程式がある場合、次のように表されます。

\[\begin{align*}a_1x + b_1y &= c_1 \\a_2x + b_2y &= c_2\end{align*}\]

ここで、\( a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \) は定数です。

連立一次方程式の解は、これらの方程式を同時に満たす \( x \) と \( y \) の値であり、グラフ上では2つの直線の交点として表現されます。

解法には、吐き出し法、クラメルの公式、反復法などがあり、これらの手法を用いて効率的に解を求めることができます。

吐き出し法(ガウスの消去法)

吐き出し法の基本原理

吐き出し法(ガウスの消去法)は、連立一次方程式を解くためのアルゴリズムで、行列を用いて方程式を簡略化し、最終的に解を求める手法です。

この方法では、行列の行を操作して上三角行列に変換し、バック代入を行うことで解を得ます。

基本的には、各方程式を他の方程式から引き算することで、変数の数を減らしていきます。

吐き出し法の手順

行列を拡張行列に変換する。
上三角行列に変換するために、行の操作を行う。
バック代入を行い、各変数の値を求める。

C言語での吐き出し法の実装

以下は、C言語での吐き出し法の実装例です。

#include <stdio.h>
#define N 3  // 方程式の数
void gaussElimination(float matrix[N][N+1]) {
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        // ピボット選択
        for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            if (matrix[j][i] > matrix[i][i]) {
                for (int k = 0; k <= N; k++) {
                    float temp = matrix[i][k];
                    matrix[i][k] = matrix[j][k];
                    matrix[j][k] = temp;
                }
            }
        }
        // 行の操作
        for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            float ratio = matrix[j][i] / matrix[i][i];
            for (int k = i; k <= N; k++) {
                matrix[j][k] -= ratio * matrix[i][k];
            }
        }
    }
}
void backSubstitution(float matrix[N][N+1], float result[N]) {
    for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
        result[i] = matrix[i][N];
        for (int j = i + 1; j < N; j++) {
            result[i] -= matrix[i][j] * result[j];
        }
        result[i] /= matrix[i][i];
    }
}
int main() {
    float matrix[N][N+1] = {
        {2, 1, -1, 8},
        {-3, -1, 2, -11},
        {-2, 1, 2, -3}
    };
    float result[N];
    gaussElimination(matrix);
    backSubstitution(matrix, result);
    printf("解: \n");
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %f\n", i + 1, result[i]);
    }
    return 0;
}

吐き出し法のメリットとデメリット

スクロールできます

メリット	デメリット
簡単に実装できる	ゼロ除算が発生する可能性がある
多くの方程式に適用可能	計算量が大きくなることがある
精度が高い	大規模な行列ではメモリを多く消費する

吐き出し法の計算量と効率性

吐き出し法の計算量は、主に行列のサイズに依存します。

具体的には、\( O(n^3) \) の計算量がかかります。

これは、行列の行数が \( n \) の場合、行の操作が \( n^2 \) 回行われるためです。

したがって、行列のサイズが大きくなると、計算時間が急激に増加します。

効率的に使用するためには、行列のサイズを考慮する必要があります。

完成したサンプルコード

上記のサンプルコードを実行すると、次のような出力が得られます。

解: 
x1 = 2.000000
x2 = 3.000000
x3 = 1.000000

クラメルの公式

クラメルの公式の基本原理

クラメルの公式は、連立一次方程式を解くための手法の一つで、行列の行列式を利用して解を求めます。

この方法は、方程式の数と変数の数が等しい場合に適用可能で、各変数の解は行列式の比を用いて計算されます。

具体的には、元の行列の行列式と、特定の列を置き換えた行列の行列式を用いて解を求めます。

行列式の計算方法

行列式は、正方行列に対して定義されるスカラー値で、行列の特性を示します。

2次の行列の行列式は次のように計算されます。

\[\text{det}(A) = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}\]

3次の行列の場合は、次のように計算されます。

\[\text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) – a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31})\]

クラメルの公式の手順

連立方程式を行列形式に表現する。
元の行列の行列式を計算する。
各変数に対して、元の行列の特定の列を置き換えた行列の行列式を計算する。
各変数の解を行列式の比を用いて求める。

C言語でのクラメルの公式の実装

以下は、C言語でのクラメルの公式の実装例です。

#include <stdio.h>
#define N 3 // 方程式の数

float determinant(float matrix[N][N]) {
    float det = 0;
    det = matrix[0][0] *
        (matrix[1][1] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][1]) -
        matrix[0][1] *
        (matrix[1][0] * matrix[2][2] - matrix[1][2] * matrix[2][0]) +
        matrix[0][2] *
        (matrix[1][0] * matrix[2][1] - matrix[1][1] * matrix[2][0]);
    return det;
}

void cramer(float matrix[N][N + 1], float result[N]) {
    float detA = determinant((float[N][N]){{matrix[0][0], matrix[0][1], matrix[0][2]},
                                           {matrix[1][0], matrix[1][1], matrix[1][2]},
                                           {matrix[2][0], matrix[2][1], matrix[2][2]}});
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        float tempMatrix[N][N];
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                if (k == i) {
                    tempMatrix[j][k] = matrix[j][N]; // 右辺の列を置き換える
                }
                else {
                    tempMatrix[j][k] = matrix[j][k];
                }
            }
        }
        result[i] = determinant(tempMatrix) / detA; // 解を求める
    }
}

int main() {
    float matrix[N][N + 1] = {
        {2,  1,  -1, 8  },
        {-3, -1, 2,  -11},
        {-2, 1,  2,  -3 }
    };
    float result[N];
    cramer(matrix, result);
    printf("解: \n");
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %f\n", i + 1, result[i]);
    }
    return 0;
}

クラメルの公式のメリットとデメリット

スクロールできます

メリット	デメリット
理論的に明確で直感的な理解が可能	行列のサイズが大きいと計算量が増加
各変数の解を直接求められる	ゼロ除算が発生する可能性がある
行列式の性質を利用できる	行列式の計算が複雑になることがある

クラメルの公式が適用できる条件

クラメルの公式は以下の条件を満たす場合に適用可能です。

方程式の数と変数の数が等しいこと。
行列の行列式がゼロでないこと(すなわち、行列が正則であること)。
連立方程式が線形であること。

完成したサンプルコード

上記のサンプルコードを実行すると、次のような出力が得られます。

解: 
x1 = 2.000000
x2 = 3.000000
x3 = -1.000000

反復法(ヤコビ法/ガウス＝ザイデル法)

反復法の基本原理

反復法は、連立一次方程式を解くための数値的手法で、初期値から始めて解に近づける方法です。

反復法では、方程式を変形して各変数を他の変数の関数として表現し、これを繰り返すことで解を求めます。

特に、ヤコビ法とガウス＝ザイデル法は、反復法の中でも広く用いられる手法です。

これらの方法は、収束条件を満たす場合に有効です。

ヤコビ法の概要と手順

ヤコビ法は、各変数を他の変数の値を用いて更新する手法です。

手順は以下の通りです。

連立方程式を各変数について解く形に変形する。
初期値を設定する。
各変数を前の反復の値を用いて更新する。
収束条件を満たすまで手順3を繰り返す。

ガウス＝ザイデル法の概要と手順

ガウス＝ザイデル法は、ヤコビ法の改良版で、更新した変数をすぐに次の計算に使用します。

手順は以下の通りです。

連立方程式を各変数について解く形に変形する。
初期値を設定する。
各変数を前の反復の値と、すでに更新した値を用いて更新する。
収束条件を満たすまで手順3を繰り返す。

C言語での反復法の実装

以下は、C言語でのヤコビ法とガウス＝ザイデル法の実装例です。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 3  // 方程式の数
#define EPSILON 0.0001  // 収束条件

void jacobi(float matrix[N][N + 1], float result[N]) {
    float temp[N];
    float old_result[N];
    do {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            old_result[i] = result[i];  // 現在の結果を保存
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            temp[i] = matrix[i][N];  // 右辺の値を初期化
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                if (j != i) {
                    temp[i] -= matrix[i][j] * old_result[j];
                }
            }
            temp[i] /= matrix[i][i];  // 新しい値を計算
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            result[i] = temp[i];  // 結果を更新
        }
    } while (fabs(result[0] - old_result[0]) > EPSILON || fabs(result[1] - old_result[1]) > EPSILON || fabs(result[2] - old_result[2]) > EPSILON);
}

void gaussSeidel(float matrix[N][N + 1], float result[N]) {
    float temp[N];
    do {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            temp[i] = result[i];  // 現在の結果を保存
        }
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            result[i] = matrix[i][N];  // 右辺の値を初期化
            for (int j = 0; j < N; j++) {
                if (j != i) {
                    result[i] -= matrix[i][j] * result[j];
                }
            }
            result[i] /= matrix[i][i];  // 新しい値を計算
        }
    } while (fabs(result[0] - temp[0]) > EPSILON || fabs(result[1] - temp[1]) > EPSILON || fabs(result[2] - temp[2]) > EPSILON);
}

int main() {
    float matrix[N][N + 1] = {
        {4, -1, 0, 3},
        {-1, 4, -1, 3},
        {0, -1, 4, 3}
    };
    float result[N] = { 0, 0, 0 };  // 初期値
    printf("ヤコビ法の解:\n");
    jacobi(matrix, result);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %f\n", i + 1, result[i]);
    }
    // 初期値をリセット
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        result[i] = 0;
    }
    printf("ガウス＝ザイデル法の解:\n");
    gaussSeidel(matrix, result);
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        printf("x%d = %f\n", i + 1, result[i]);
    }
    return 0;
}

反復法の収束条件

反復法が収束するためには、以下の条件が必要です。

行列が対角優位であること(各行の対角成分が、その行の他の成分の合計よりも大きいこと)。
行列が正則であること(行列式がゼロでないこと)。
初期値が適切であること(解に近い値を選ぶことが望ましい)。

反復法のメリットとデメリット

スクロールできます

メリット	デメリット
大規模な行列に対しても適用可能	収束しない場合がある
メモリ使用量が少ない	収束速度が遅いことがある
実装が比較的簡単	初期値に依存する

完成したサンプルコード

上記のサンプルコードを実行すると、次のような出力が得られます。

ヤコビ法の解:
x1 = 1.071396
x2 = 1.285675
x3 = 1.071396
ガウス＝ザイデル法の解:
x1 = 1.071426
x2 = 1.285713
x3 = 1.071428

各手法の比較

吐き出し法とクラメルの公式の比較

スクロールできます

特徴	吐き出し法	クラメルの公式
実装の難易度	中程度	簡単
計算量	\(O(n^3)\)	\(O(n^3)\)
ゼロ除算のリスク	あり	あり
適用可能な条件	行列が正則であること	行列が正則であること
大規模行列への適用	効率的	非効率的
解の求め方	バック代入	行列式の比を用いる

吐き出し法は、行列のサイズが大きくなると計算が効率的であり、特に大規模な問題に適しています。

一方、クラメルの公式は、行列のサイズが小さい場合に直感的で簡単に実装できますが、大規模な行列には不向きです。

吐き出し法と反復法の比較

スクロールできます

特徴	吐き出し法	反復法
実装の難易度	中程度	簡単
計算量	\(O(n^3)\)	\(O(n^2)\)(収束条件による)
ゼロ除算のリスク	あり	なし
適用可能な条件	行列が正則であること	行列が対角優位であること
大規模行列への適用	効率的	効率的
解の求め方	バック代入	反復更新

反復法は、特に大規模な行列に対してメモリ使用量が少なく、効率的に解を求めることができますが、収束条件を満たす必要があります。

吐き出し法は、確実に解を求めることができるため、収束条件を気にせずに使用できます。

クラメルの公式と反復法の比較

スクロールできます

特徴	クラメルの公式	反復法
実装の難易度	簡単	簡単
計算量	\(O(n^3)\)	\(O(n^2)\)(収束条件による)
ゼロ除算のリスク	あり	なし
適用可能な条件	行列が正則であること	行列が対角優位であること
大規模行列への適用	非効率的	効率的
解の求め方	行列式の比を用いる	反復更新