[C言語] 黄金分割法を用いた最適化手法の実装方法

黄金分割法は、連続関数の最小値を求めるための効率的な手法です。

C言語での実装では、まず探索区間を設定し、その中で関数の評価を行います。

黄金比を用いて区間を分割し、評価点を更新しながら区間を狭めていきます。

具体的には、区間の両端をaとbとし、内部の評価点をcとdとします。

評価点の位置は黄金比に基づいて計算され、関数の値を比較して、最小値が存在する可能性のある区間を選びます。

このプロセスを繰り返し、区間が十分に狭くなったところで最小値を求めます。

C言語では、ループと条件分岐を用いてこの反復プロセスを実装します。

黄金分割法とは

黄金分割法の基本

黄金分割法は、最適化問題において効率的に解を求めるための手法の一つです。

この手法は、探索区間を黄金比に基づいて分割し、最適解を見つけるために反復的に区間を狭めていきます。

具体的には、以下のような手順で進行します。

• 探索区間を設定する
• 区間を黄金比に基づいて分割し、評価点を決定する
• 評価点での関数値を比較し、最適解が含まれる区間を選択する
• 区間を更新し、収束条件を満たすまで繰り返す

この方法は、特に単峰性関数(1つの極小値または極大値を持つ関数)の最適化に適しています。

黄金比の数学的背景

黄金比は、数学的に非常に興味深い定数で、約1.6180339887として知られています。

この比率は、次のような方程式で定義されます。

\[ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]

黄金比は、自然界や芸術、建築などさまざまな分野で見られる美しい比率としても知られています。

黄金分割法では、この比率を利用して探索区間を分割し、効率的に最適解を求めます。

最適化問題への応用

黄金分割法は、特に以下のような最適化問題に応用されます。

• 単峰性関数の最小化: 関数が1つの極小値を持つ場合、黄金分割法は効率的に最小値を見つけることができます。
• 無制約最適化: 制約条件がない場合、探索範囲を自由に設定できるため、黄金分割法が有効です。
• 数値解析: 数値的に解を求める必要がある場合、黄金分割法は計算コストを抑えつつ高精度な解を提供します。

この手法は、他の最適化手法と比較しても、計算効率が高く、実装が比較的簡単であるため、広く利用されています。

C言語での実装準備

関数の定義とプロトタイプ宣言

C言語で黄金分割法を実装する際には、まず最適化したい関数を定義し、そのプロトタイプを宣言します。

例えば、最小化したい関数が f(x) である場合、以下のように定義します。

// 最小化したい関数のプロトタイプ
double f(double x);
// 関数の定義
double f(double x) {
    // 例: 二次関数
    return x * x + 4 * x + 4;
}

初期条件の設定

次に、探索を開始するための初期条件を設定します。

具体的には、探索区間の両端の値を決定します。

double a = -10.0; // 探索区間の左端
double b = 10.0;  // 探索区間の右端

探索区間の設定

探索区間を設定したら、黄金比を用いて評価点を計算する準備をします。

黄金比は約0.618です。

const double phi = (1 + sqrt(5)) / 2; // 黄金比
double c = b - (b - a) / phi; // 評価点c
double d = a + (b - a) / phi; // 評価点d

評価点の計算方法

評価点 c と d の関数値を計算し、どちらの点がより良い解を示すかを判断します。

double fc = f(c);
double fd = f(d);

区間の更新と収束条件

評価点の関数値を比較し、探索区間を更新します。

収束条件は、区間の長さが十分に小さくなるまで繰り返します。

while (fabs(b - a) > 1e-5) { // 収束条件
    if (fc < fd) {
        b = d;
        d = c;
        fd = fc;
        c = b - (b - a) / phi;
        fc = f(c);
    } else {
        a = c;
        c = d;
        fc = fd;
        d = a + (b - a) / phi;
        fd = f(d);
    }
}

反復処理の実装

上記の区間更新を反復処理として実装し、最適解を求めます。

完成したプログラム

以下に、黄金分割法を用いた最適化の完成したプログラムを示します。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
// 最小化したい関数のプロトタイプ
double f(double x);
// 関数の定義
double f(double x) {
    return x * x + 4 * x + 4;
}
int main() {
    double a = -10.0; // 探索区間の左端
    double b = 10.0;  // 探索区間の右端
    const double phi = (1 + sqrt(5)) / 2; // 黄金比
    double c = b - (b - a) / phi;
    double d = a + (b - a) / phi;
    double fc = f(c);
    double fd = f(d);
    while (fabs(b - a) > 1e-5) { // 収束条件
        if (fc < fd) {
            b = d;
            d = c;
            fd = fc;
            c = b - (b - a) / phi;
            fc = f(c);
        } else {
            a = c;
            c = d;
            fc = fd;
            d = a + (b - a) / phi;
            fd = f(d);
        }
    }
    double x_min = (a + b) / 2; // 最小値の近似解
    printf("最小値は x = %f で、f(x) = %f です。\n", x_min, f(x_min));
    return 0;
}

最小値は x = -2.000000 で、f(x) = 0.000000 です。

このプログラムは、二次関数の最小値を黄金分割法を用いて求めています。

探索区間を反復的に狭めることで、最小値の近似解を効率的に見つけることができます。

応用例

多次元関数への拡張

黄金分割法は本来一変数関数の最適化に用いられる手法ですが、多次元関数への拡張も可能です。

多次元の場合、各次元ごとに一変数の最適化を行うことで、全体の最適化を達成します。

これには、座標降下法やパウエル法といった手法と組み合わせることが一般的です。

• 座標降下法: 各次元ごとに順番に最適化を行う手法。

黄金分割法を各次元の最適化に利用することで、効率的に多次元の最適化が可能です。

• パウエル法: 方向ベクトルを用いて最適化を行う手法。

黄金分割法を用いて方向ごとの最適化を行います。

これらの手法を用いることで、多次元の最適化問題に対しても黄金分割法を応用することができます。

制約付き最適化への応用

制約付き最適化問題においても、黄金分割法は有効です。

制約条件を満たす範囲内での最適化を行うために、以下のような手法を組み合わせます。

• ペナルティ法: 制約を満たさない解に対してペナルティを課すことで、制約を考慮した最適化を行います。

黄金分割法を用いてペナルティ付きの目的関数を最適化します。

• バリア法: 制約の境界に近づくと目的関数の値が大きくなるようにする手法。

黄金分割法を用いてバリア付きの目的関数を最適化します。

これにより、制約条件を考慮した最適化が可能となります。

他の最適化手法との比較

黄金分割法は、他の最適化手法と比較して以下のような特徴があります。

• 計算効率: 黄金分割法は、探索区間を効率的に狭めるため、計算効率が高いです。
• 実装の容易さ: 実装が比較的簡単で、特に初学者にとって取り組みやすい手法です。
• 適用範囲: 単峰性関数に特化しているため、他の手法と組み合わせて使用することが多いです。

これらの特徴を考慮し、問題に応じて適切な最適化手法を選択することが重要です。

黄金分割法は、特に単峰性関数の最適化において有効な手法として広く利用されています。

まとめ

この記事では、黄金分割法の基本的な概念から、C言語での実装方法、さらには応用例までを詳しく解説しました。

黄金分割法は、単峰性関数の最適化において効率的で実装が容易な手法であり、多次元関数や制約付き最適化にも応用可能です。

これを機に、実際のプログラミングに黄金分割法を取り入れ、最適化問題の解決に役立ててみてはいかがでしょうか。